Démonstration de la formule de machin PI

[Olivier Miakinen]

[ publication croisée, suivi vers fr.education.entraide.maths ]

Vous connaissez PI et bien il y a un bonhomme qui a fait une formule
pour dire que PI est égale à un truc les 100 première décimal et
j'ai un professeur il eu l'idée saugrenu de nous demander de la
démontre sur 5 points... et je vois pas par où la prendre...
PI/4 = 4*arctan(1/5/) - arctan(1/239)
Par où commencé comment la prendre j'aurais besoin de ces 5 points...

Pour ce genre de question, voir le forum fr.education.entraide.maths où
je place le suivi.

Raté ©. Plus exactement tu as bien positionné le suivi vers feem, mais
tu as oublié de rajouter aussi feem dans les groupes de publication, ce
qui fait que les lecteurs de ce groupe risqueraient de voir apparaître
des réponses sans avoir eu la question... Je répare donc cet oubli,
avec une publication croisée entre fsm et feem, et un suivi dans feem
uniquement.

Sinon, une piste: calculer la tangente du membre de droite à l'aide de
la formule tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)).

J'ai essayé moi-même, mais j'ai dû me planter dans le calcul de
tan(4*arctan(1/5). Je suppose qu'on doit trouver 1 au final ?

[cricri]

Post by Olivier Miakinen
[ publication croisée, suivi vers fr.education.entraide.maths ]

Vous connaissez PI et bien il y a un bonhomme qui a fait une formule
pour dire que PI est égale à un truc les 100 première décimal et
j'ai un professeur il eu l'idée saugrenu de nous demander de la
démontre sur 5 points... et je vois pas par où la prendre...
PI/4 = 4*arctan(1/5/) - arctan(1/239)
Par où commencé comment la prendre j'aurais besoin de ces 5 points...

sachant que tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a).tan(b)), alors
1) si on pose t=tan(x), tu trouves facilement que tan(2x)=(2t)/(1-t^2)
2) Puis, c'est plus fastidieux, que : tan(4x)=[4t(1-t^2)]/(1-6t^2+t^4)
3) Par conséquent : tan[4 arctan(1/5)] = [4*1/5*(1-1/25)]/(1-6/25+1/625)
= 120/119
4) ensuite, tu as aussi : tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a).tan(b))
donc : tan(4arctan(1/5)-arctan(1/239)) = (120/119 -
1/239)/(1+(120/119)*(1/239)) = 1
5) si la tan vaut1, c'est que l'angle 4arctan(1/5)-arctan(1/239) vaut
pi/4, tu as donc ta formule.

[µ]

Post by cricri
5) si la tan vaut1, c'est que l'angle 4arctan(1/5)-arctan(1/239) vaut
pi/4, tu as donc ta formule.

Non, ceci montre seulement que 4*arctan(1/5)-arctan(1/239) est de la
forme pi/4+k*pi avec k entier relatif dont il reste à montrer qu'il est
nul à l'aide par exemple d'un encadrement.

[µ]

Post by Olivier Miakinen

Pour ce genre de question, voir le forum fr.education.entraide.maths où
je place le suivi.

Raté ©. Plus exactement tu as bien positionné le suivi vers feem, mais
tu as oublié de rajouter aussi feem dans les groupes de publication, ce
qui fait que les lecteurs de ce groupe risqueraient de voir apparaître
des réponses sans avoir eu la question... Je répare donc cet oubli,
avec une publication croisée entre fsm et feem, et un suivi dans feem
uniquement.

Désolé, je ne connais pas encore très bien mon nouveau lecteur de news...

Post by Olivier Miakinen

Sinon, une piste: calculer la tangente du membre de droite à l'aide de
la formule tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)).

J'ai essayé moi-même, mais j'ai dû me planter dans le calcul de
tan(4*arctan(1/5). Je suppose qu'on doit trouver 1 au final ?

Oui. Enfin bon, c'est un peu lourd: on trouve successivement
tan(2*Arctan(1/5))=(2/5)/(1-(1/5)^2)=5/12 puis
tan(4*Arctan(1/5))=120/119 et enfin ce qu'on cherche. Sans oublier, bien
sûr, de vérifier que 4*Arctan(1/5)-Arctan(1/239) est dans un intervalle
où le seul réel de tangente 1 est pi/4.
On peut aussi établir une formule générale pour Arctan(a)+Arctan(b) en
devinant que ça fait intervenir Arctan((a+b)/(1-a*b)) (pas trop
difficile à deviner, il faut qu'il y ait un rapport avec la formule de
tangente d'une somme) puis dériver cette expression par rapport à a pour
voir quelle est la formule exacte, en n'oubliant pas que ceci n'est pas
défini en 1/b et donc qu'il faut faire attention...
Autre méthode: calculer (5+i)^4/(239+i) et exprimer les arguments avec
des arctangentes.
Tout est assez bourrin.

[ast]

Vous connaissez PI et bien il y a un bonhomme qui a fait une formule
pour dire que PI est égale à un truc les 100 première décimal et
j'ai un professeur il eu l'idée saugrenu de nous demander de la
démontre sur 5 points... et je vois pas par où la prendre...
PI/4 = 4*arctan(1/5/) - arctan(1/239)
Par où commencé comment la prendre j'aurais besoin de ces 5 points...

<sachant que tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a).tan(b)), alors
<1) si on pose t=tan(x), tu trouves facilement que tan(2x)=(2t)/(1-t^2)
<2) Puis, c'est plus fastidieux, que : tan(4x)=[4t(1-t^2)]/(1-6t^2+t^4)
<3) Par conséquent : tan[4 arctan(1/5)] = [4*1/5*(1-1/25)]/(1-6/25+1/625)
<= 120/119
<4) ensuite, tu as aussi : tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a).tan(b))
<donc : tan(4arctan(1/5)-arctan(1/239)) = (120/119 -
<1/239)/(1+(120/119)*(1/239)) = 1
<5) si la tan vaut1, c'est que l'angle 4arctan(1/5)-arctan(1/239) vaut
<pi/4, tu as donc ta formule.

Pour ceux qui ne le saurais pas, c'est la formule de Machin.

Si cette formule s'appelle formule de Machin, ce n'est pas parce que les matheux
manquaient d'imagination, mais parce qu'elle est due à John Machin, mathématicien
anglais qui obtint en 1706 cent décimales de pi grâce à cette formule!

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./m/machin.html

[StefJM]

"ast" a écrit

Post by ast
Pour ceux qui ne le saurais pas, c'est la formule de Machin.
Si cette formule s'appelle formule de Machin, ce n'est pas parce que les matheux
manquaient d'imagination, mais parce qu'elle est due à John Machin, mathématicien
anglais qui obtint en 1706 cent décimales de pi grâce à cette formule!

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./m/machin.ht
ml

Ben c'était quand même dans le titre, même si le PO a oublié la
majuscule. ;-)

Quand on voit comme la simple vérification est chiante, je me demande
toujours comment on trouve ce genre de bijoux.

En particulier d'où sortent les entiers 4, 5 et 239...

--
StefJM

[µ]

Post by StefJM
Quand on voit comme la simple vérification est chiante, je me demande
toujours comment on trouve ce genre de bijoux.
En particulier d'où sortent les entiers 4, 5 et 239...

Comme souvent, ce genre de formule "miraculeuse" n'est pas apparu tout seul.
L'idée est qu'on a arctan(a)+arctan(b)=arctan((a+b)/(1-ab)) si ab<1 (ça,
c'est simplement de la trigo: on essaie d'inverser la formule de la
tangente d'une somme).
Après, on essaie des a et b d'une forme particulière: par exemple a=1/n
et b=1/(n+1), ou a=1/n et b=1/(n^2+n+1), etc. et, de temps en temps, ça
donne une jolie formule.