dénombrement particulier

[TeXnicien de surface]

bonjour

voici le problème :
on attribue, au hasard, une couleur (parmi les 7 "traditionnelles" de
l'arc-en-ciel) à chacune des personnes d'un groupe de 10.
Quelle est la probabilité d'avoir au moins trois personnes avec la même
couleur ?

J'ai bien une méthode avec un dénombrement bestial (écrire 10 comme
somme d'entiers positifs et placer la décomposition sur 7 places) mais
je me demandais s'il n'existerait pas une méthode élémentaire plus
rapide. J'insiste sur le côté "élémentaire" :)


avec mes remerciements anticipés pour tout début de commencement de piste

[Lotre]

Bonjour,

Comme souvent avec une telle contrainte ( "au moins" ...)
l'événement contraire est plus simple :

"certaines couleurs sont en double" (ni triple ni au delà)
(et pas plus)
car elles ne peuvent pas être toutes distinctes ;o)


Il y a trois événements disjoints à dénombrer ...

trois en double :
on choisit 7 personnes parmi 10
On répartit les 7 couleurs sur ces 7 personnes
puis on choisit 3 couleurs sur les 7 utilisées
puis on les donne aux 3 personnes restantes

quatre en double :
on choisit 6 personnes parmi 10
on choisit 6 couleurs parmi 7
On répartit les 6 couleurs sur ces 6 personnes
puis on choisit 4 couleurs sur les 6 utilisées
puis on les donne aux 4 personnes restantes

cinq en double :
on choisit 5 personnes parmi 10
on choisit 5 couleurs parmi 7
On répartit les 5 couleurs sur ces 5 personnes
puis on choisit 5 couleurs sur les 5 utilisées (!)
puis on les donne aux 5 personnes restantes


Cordialement,

HB