series trigonometriques

[taurage]

Bonjour,

J'ai quelques questions sur les séries trigonométriques du type
som(n=1;+inf;b_n*sin(nt)) :

f est définie par f(t)=som(n=1;+inf;b_n*sin(nt)) pour les réels t tels que
la série converge.
On pose f_n(t)=b_n*sin(nt)

1) On sait que som(b_n) converge absolument et qu'il existe r>1 telle que
b_n est un O(1/r^n) :
Montrer qu'il existe (c_k) telle que pour tout t de ]-ln(r);ln(r)[,
f(t)=som(k=0;+inf;c_k*t^(2k+1))

2) On sait que (b_n) est une suite réelle décroissante qui tend vers 0 :
- Donner une CNS sur (b_n) pour que la série de fonctions som(f_n) converge
uniformément sur R
---> j'ai trouvé comme CNS : (nb_n) tend vers 0
- A quelle condition y-a-t-il convergence normale su R ?
- Donner un exemple dans lequel il y a convergence uniforme mais pas normale

Merci d'avance pour vos aides.

Florence

[Olivier Miakinen]

Bonjour taurage,

Post by taurage
J'ai quelques questions sur les séries trigonométriques du type

Tout d'abord, tu as bien fait de poser ta question dans ce groupe,
celui de l'aide aux devoirs, plutôt que dans fr.sci.maths. Je ne
vais pas t'être d'une très grande aide car je ne sais pas répondre
à tout ce qui suit, mais peut-être qu'un coup de pouce te suffira.

Pour le reste, je crois que dire dans quelle classe tu es serait
utile aux profs et aux élèves qui pourraient te répondre -- je
veux dire ceux qui savent ce qui est ou n'est pas au programme
de telle ou telle classe.

Post by taurage
f est définie par f(t)=som(n=1;+inf;b_n*sin(nt)) pour les réels t tels que
la série converge.
On pose f_n(t)=b_n*sin(nt)
1) On sait que som(b_n) converge absolument et qu'il existe r>1 telle que

Pour répondre à la question, il te sera peut-être utile d'expliciter
la propriété « être un O(1/r^n) » ?

Post by taurage
Montrer qu'il existe (c_k) telle que pour tout t de ]-ln(r);ln(r)[,
f(t)=som(k=0;+inf;c_k*t^(2k+1))

Quand je vois -ln(r) < t < ln(r), j'ai envie d'écrire ça sous la
forme 1/r < e^t < r, voire 1/r^n < e^(nt) < r^n. Je ne sais pas
si ça servira à quelque chose, mais bon, je te lance les pistes
auxquelles je pense et après tu en feras ce que tu veux.

Par ailleurs, dans la nouvelle écriture de f(t), on ne voit plus
de sin() mais on voit des puissances impaires de t, ce qui me fait
penser à la formule :
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
Sachant que som(b_n) converge absolument, ça doit permettre de
réarranger les termes dans la somme infinie...

Post by taurage
2) [...]

Là je sèche complètement, ne me rappelant absolument pas ce que
signifie « converger uniformément » ou « convergence normale ».

Cordialement,