Dérivée d'une série de fonctions

[Lionel Dorat]

Bonjour,

Je m'intéresse au problème suivant : est-ce que
f:x->sum(cos(nx)/(1+n^2),n=0.;infinity) est dérivable en 0 ? Si on se place
sur R, la réponse est non : f étant paire, on devrait avoir f'(0)=0, or en
séparant en deux la somme |f(x)-f(0)|/x (si x=Pi/2N, on prend n<=N d'un
coté, et on majore |cos(a)-1|=2sin^2(a/2) par 2(a/Pi)^2 ...), on majore
|f'(0)| par 1/Pi.

Par contre, graphiquement (Maple), on a l'impression que c'est dérivable à
droite (et à gauche), mais je n'arrive pas à le montrer. Quelqu'un aurait-il
une petite idée ?

Autre fonction qui me pose problème :
g:x->sum(cos(nx)/(n^2*ln(n)),n=2.;infinity) est dérivable en 0 ? J'ai trouvé
dans un document l'affirmation que ''il est facile de voir que c'est
dérivable sur R''. En faisant une transformation d'Abel, sur R\2PiZ, c'est
bon. Il reste en 0, et là je bloque ...

D'avance merci,

Lionel Dorat

[l***@NOSPAMlaposte.net]

Post by Lionel Dorat
Je m'intéresse au problème suivant : est-ce que
f:x->sum(cos(nx)/(1+n^2),n=0.;infinity) est dérivable en 0 ? Si on se place
sur R, la réponse est non.
Par contre, graphiquement (Maple), on a l'impression que c'est dérivable à
droite (et à gauche), mais je n'arrive pas à le montrer. Quelqu'un aurait-il
une petite idée ?

C'est dérivable à droite et à gauche, mais je ne vois pas de moyen
direct d'y arriver facilement.
Je le sais "par hasard" car, avec les séries de Fourier, en
développant la fonction 2Pi périodique définie sur [-Pi, Pi] par
cosh(x), (cosinus hyperbolique), on trouve des choses intéressantes en
liaison avec ta série.
On prouve en particulier que sa somme vaut, sur [0, 2Pi] :
Pi*cosh(x-Pi)/(2sinh(Pi)) + 1/2

Ce qui donne comme dérivée à droite en 0 -Pi/2

Post by Lionel Dorat
g:x->sum(cos(nx)/(n^2*ln(n)),n=2.;infinity) est dérivable en 0 ? J'ai trouvé
dans un document l'affirmation que ''il est facile de voir que c'est
dérivable sur R''. En faisant une transformation d'Abel, sur R\2PiZ, c'est
bon. Il reste en 0, et là je bloque ...

moi aussi.


Lavau Gérard

[Lionel Dorat]

Post by l***@NOSPAMlaposte.net
C'est dérivable à droite et à gauche, mais je ne vois pas de moyen
direct d'y arriver facilement.
Je le sais "par hasard" car, avec les séries de Fourier, en
développant la fonction 2Pi périodique définie sur [-Pi, Pi] par
cosh(x), (cosinus hyperbolique), on trouve des choses intéressantes en
liaison avec ta série.
Pi*cosh(x-Pi)/(2sinh(Pi)) + 1/2
Ce qui donne comme dérivée à droite en 0 -Pi/2

Merci pour cette réponse ! :)

J'avais espérer que la méthode utilisée pourrait servir pour la deuxième
série de fonction, mais bon, c'est déjà super d'avoir une démo pour ce
résultat.

Lionel Dorat