Coordonnées d'un point à la perpendiculaire d'un point d'un plan

[Laurent]

Bonjour,


J'ai un plan passant par 3 points A, B et C, de coordonnées respectives
(xA,yA,zA), (xB,yB,zB) et (xC,yC,zC).

D un point quelconque (pas tout à fait en fait mais ce n'est pas l'objet
de ma question) de ce plan de coordonnées (xD,yD,zD).

Je souhaite trouver les coordonnées des points D' et D" tel que les
distances DD' et DD" valent d et que la droite D'D" soit perpendiculaire
au plan, le traversant en D.

Il y a longtemps que j'ai quitté mes études et même en cherchant sur
Internet, j'ai vraiment du mal à recomprendre les équations d'un plan,
les vecteurs et tout et tout, et à y arriver tout seul.

Si l'un de vous s'ennuie un peu, je serai vraiment ravi qu'il m'aide à
trouver les coordonnées de ces 2 points.

Merci.

Laurent

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Mes souvenirs de géométrie dans l'espace sont un peu lointains, mais
voici qui devrait être une ébauche de réponse.

Post by Laurent
J'ai un plan passant par 3 points A, B et C, de coordonnées respectives
(xA,yA,zA), (xB,yB,zB) et (xC,yC,zC).

Ce plan doit avoir une équation cartésienne (en fait plusieurs) de
la forme : a.x + b.y + c.z + e = 0. Cette équation doit être vérifiée
pour tes trois points, en remplaçant (x,y,z) par (xA,yA,zA), par
(xB,yB,zB) et par (xC,yC,zC) respectivement.

[aparté : traditionnellement on utilise les lettres a, b, c et d,
mais tu utilises un d plus loin dans ta question, alors ici je l'ai
remplacé par e... de toute manière il ne nous servira pas pour la
suite]

Je dis qu'il existe plusieurs équations, car si tu multiplies les
quatre nombres a, b, c et e par une même valeur cela donne une autre
équation équivalente.

Est-ce que tu sais obtenir cette équation ? Si oui, c'est parfait. Sinon
il va falloir que je me creuse un peu pour exprimer a, b, c et e en
fonction des coordonnées.

Post by Laurent
D un point quelconque (pas tout à fait en fait mais ce n'est pas l'objet
de ma question) de ce plan de coordonnées (xD,yD,zD).

Je suppose qu'il n'est pas nécessaire de vérifier que D appartient au
plan ? Du coup, tu peux utiliser D à la place de l'un des trois autres
points A, B ou C, pour trouver l'équation du plan.

Post by Laurent
Je souhaite trouver les coordonnées des points D' et D" tel que les
distances DD' et DD" valent d et que la droite D'D" soit perpendiculaire
au plan, le traversant en D.

Les points D, D' et D'' se trouvent sur une droite perpendiculaire au
plan, la direction de cette droite étant portée par un vecteur de
coordonnées (a, b, c) -- les mêmes a, b et c que ceux de l'équation
cartésienne du plan, et le nombre e on s'en fiche.

Soient a', b' et c' définis comme suit :
a' = (a.d)/racine(a²+b²+c²)
b' = (b.d)/racine(a²+b²+c²)
c' = (c.d)/racine(a²+b²+c²)

Le vecteur (a', b', c') est toujours dans la direction perpendiculaire
au plan, mais en plus il a comme longueur le nombre d.

Du coup, les points D' et D'' que tu cherches devraient vérifier :
xD' = xD + a'
yD' = yD + b'
zD' = zD + c'
et ;
xD'' = xD - a'
yD'' = yD - b'
zD'' = zD - c'

Post by Laurent
Il y a longtemps que j'ai quitté mes études et même en cherchant sur
Internet, j'ai vraiment du mal à recomprendre les équations d'un plan,
les vecteurs et tout et tout, et à y arriver tout seul.
Si l'un de vous s'ennuie un peu, je serai vraiment ravi qu'il m'aide à
trouver les coordonnées de ces 2 points.

Bon, moi aussi il y a longtemps que j'ai quitté l'école, mais j'espère
ne pas m'être trompé. Si donc je n'ai pas fait d'erreur, il ne te reste
plus qu'à trouver les nombres a, b, c (et éventuellement e) pour
conclure.

Cordialement,

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen

Post by Laurent
J'ai un plan passant par 3 points A, B et C, de coordonnées respectives
(xA,yA,zA), (xB,yB,zB) et (xC,yC,zC).

[...]
Bon, moi aussi il y a longtemps que j'ai quitté l'école, mais j'espère
ne pas m'être trompé. Si donc je n'ai pas fait d'erreur, il ne te reste
plus qu'à trouver les nombres a, b, c (et éventuellement e) pour
conclure.

Je crois que j'ai trouvé une méthode pour déterminer directement les
nombres a, b et c, cette méthode s'appelle le produit vectoriel.
Cf. <http://homeomath2.imingo.net/prodvect.htm>.

Choisis trois des points parmi A, B, C et D, et calcule -- par exemple
-- les coordonnées des vecteurs AB et AC, qui seront (x, y, z) et
(x', y', z').

Par exemple :
x = xB-xA x' = xC-xA
y = yB-yA y' = yC-yA
z = zB-zA z' = zC-zA

Alors le produit vectoriel donne :
a = y.z' - z.y'
b = z.x' - x.z'
c = x.y' - y.x'

Ensuite tu te reportes à mon message précédent pour calculer a', b' et
c', puis les coordonnées de D' et D''.

Cordialement,

[Laurent]

Post by Olivier Miakinen
Cordialement,
-- Olivier Miakinen

Super, merci !