proba des causes

[Torgue Philippe]

Bonjour,

Soit 2 urnes, l'une contenant 70 boules rouges et 30 noires
l'autre 70 boules noires et 30 rouges

Soit enfin un lot de 12 boules, 8 rouges et 4 noires.

Ce lot est issue d'un tirage de l'une des deux urnes.

Quelle est la probabilité pour chaque urne ?

Normalement le résultat est surprenant, on doit s'attendre à une valeur
beaucoup plus grande pour l'urne 1...mais pfff, je n'y arrive pas.

Merci.

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Post by Torgue Philippe
Soit 2 urnes, l'une contenant 70 boules rouges et 30 noires
l'autre 70 boules noires et 30 rouges
Soit enfin un lot de 12 boules, 8 rouges et 4 noires.
Ce lot est issue d'un tirage de l'une des deux urnes.

Est-ce que cela veut dire que l'une des deux urnes contenait
initialement 82 boules ? Ou bien le compte de 70 boules était
avant le tirage, et l'une des urnes en contient maintenant 58 ?

Post by Torgue Philippe
Quelle est la probabilité pour chaque urne ?

Je vais y réfléchir, même si à priori je ne vois pas trop
comment aborder le problème.

[Torgue Philippe]

Non, dans chaque urne nous avons 100 boules

Une urne étant choisie ensuite afin d'y effectuer un tirage de 12 boules
(8 R et 4 N)

Quelle est la probabilité, connaissant l'effet, que la cause soit l'urne
1 ou l'urne 2 !

[Olivier Miakinen]

Post by Torgue Philippe
Non, dans chaque urne nous avons 100 boules

Oups ! Oui, 100 et pas 70, désolé.

Post by Torgue Philippe
Une urne étant choisie ensuite afin d'y effectuer un tirage de 12 boules
(8 R et 4 N)
Quelle est la probabilité, connaissant l'effet, que la cause soit l'urne
1 ou l'urne 2 !

Ok, c'est clair. Maintenant je vais essayer de comprendre la réponse de
Lotre. ;-)

[Lotre]

Bonjour,

indications :

Il faut exprimer clairement
ce que l'on cherche
ce que l'on peut "facilement" calculer...

Si on connait p(A sachant B)
et qq trucs en plus ....
on peut trouver p(B sachant A)

HB

[Torgue Philippe]

Post by Torgue Philippe
Bonjour,
Il faut exprimer clairement
ce que l'on cherche
ce que l'on peut "facilement" calculer...
Si on connait p(A sachant B)
et qq trucs en plus ....
on peut trouver p(B sachant A)
HB

oui c'est bien cette piste que j'avais choisie...
bon, j'ai dû me louper dans les tirages sans ou avec remises !!!

[Lotre]

Bonsoir,

"Torgue Philippe" a écrit

Post by Torgue Philippe
bon, j'ai dû me louper dans
les tirages sans ou avec remises !!!

peut-être ... ;o)
ici,
d'après l'absence de précision
c'est du "sans remise"
De même, si l'on imagine le déroulement de l'expérience aléatoire,
on voit qu'une précision importante manque :
Le choix entre U1 et U2
avant le tirage dans l'urne choisie
se fait "au hasard"

Notons A "j'ai 8R et 4N"

a1 = p(A si U1) et a2 = p( A si U2)

(qui se calculent ...)

p(U1) = p p(U2) = 1 - p = q
mais l'énoncé semble indiquer
que dans le déroulement, on a p = q = 1/2
dans le cas contraire, le paramètre p est en plus...

p(A inter U1) = p.a1
p(A inter U2) = q.a2

p(U1 si A) = p.a1/(p.a1 + q.a2)

qui, avec p = q, peut s'écrire

b1 = p(U1 si A) = 1/( 1 + a2/a1)

et par symétrie,

b2 = p(U2 si A) = 1/( 1 + a1/a2)

Ensuite, restent à évaluer a1 et a2 :
... ( coef binomiaux...)

en écrivant ça avec les factoriels, on voit que le quotient a1/a2 se
simplifie "un peu" ...
et qu'il ne reste que qq nombres ...

je trouve, si je n'ai pas fait d'erreur(s)

b1 = 115/5659 soit environ 2%
et
b2 = 5544/5659 soit environ 98%

HB

[Torgue Philippe]

Post by Lotre
Bonsoir,
"Torgue Philippe" a écrit

Post by Torgue Philippe
bon, j'ai dû me louper dans
les tirages sans ou avec remises !!!

peut-être ... ;o)
ici,
d'après l'absence de précision
c'est du "sans remise"
De même, si l'on imagine le déroulement de l'expérience aléatoire, on
voit qu'une précision importante manque : Le choix entre U1 et U2
avant le tirage dans l'urne choisie
se fait "au hasard"
Notons A "j'ai 8R et 4N"
a1 = p(A si U1) et a2 = p( A si U2)
(qui se calculent ...)
p(U1) = p p(U2) = 1 - p = q
mais l'énoncé semble indiquer
que dans le déroulement, on a p = q = 1/2 dans le cas contraire, le
paramètre p est en plus...
p(A inter U1) = p.a1
p(A inter U2) = q.a2
p(U1 si A) = p.a1/(p.a1 + q.a2)
qui, avec p = q, peut s'écrire
b1 = p(U1 si A) = 1/( 1 + a2/a1)
et par symétrie,
b2 = p(U2 si A) = 1/( 1 + a1/a2)
Ensuite, restent à évaluer a1 et a2 : ... ( coef binomiaux...)
en écrivant ça avec les factoriels, on voit que le quotient a1/a2 se
simplifie "un peu" ...
et qu'il ne reste que qq nombres ...
je trouve, si je n'ai pas fait d'erreur(s)
b1 = 115/5659 soit environ 2% et
b2 = 5544/5659 soit environ 98%
HB

ok, mais alors U1 ici représente l'urne 2 de mon énoncé ?

[Lotre]

oups

Je crois qu'effectivement, j'ai inversé les n° en cours de route :
Je corrige :

U1 : 70R 30N
U2 : 30R 70N

A : "j'ai 8R et 4N"

a1 = p(A si U1) et a2 = p( A si U2)
p(U1) = p p(U2) = 1 - p = q
p = q = 1/2

p(A inter U1) = p.a1
p(A inter U2) = q.a2

p(U1 si A) = p.a1/(p.a1 + q.a2)

avec p = q = 1/2

b1 = p(U1 si A) = 1/( 1 + a2/a1)

( et par symétrie, b2 = p(U2 si A) = 1/( 1 + a1/a2) )
( mais b2 = 1 - b1 est plus simple ...)

Ensuite...

r = a2/a1 = [C(70,4).C(30,8)]/[C(70,8).C(30,4)]

en écrivant ça avec les factoriels

il reste

r = a2/a1 = 62! . 26! / ( 66! . 22!) = 115/5544

b1 = 1/( 1 + r) = 5544/5659
b2 = 115/5659

b1 vaut environ 98%
b2 vaut environ 2%

on peut regarder plus généralement :

En notant N et M les effectifs (remplaçant 70 et 30 ) N > M
et a et b les nb de boules tirées (remplaçant 8 et 4)

on obtient

r(N,M,a,b) = [ (M-b)....(M-a+1) / [ (N-b)....(N-a+1) ]

et

b1(N,M,a,b) = 1/( 1 + r(N,M,a,b))

b2(N,M,a,b) = 1 - b1(N,M,a,b)

(On voit que si a=b alors b1 = b2 = 1/2 ...)

on peut avec un logiciel ad-hoc regarder qq valeurs ;
(arrondies à la louche)

b1(30,10,4,1) : 98 %
b1(30,10,4,2) : 93 %
b1(30,10,4,3) : 79 %

b1(50,40,2,1) : 56 %

b1(50,40,3,1) : 61 %
b1(50,40,3,2) : 56 %

b1(50,40,4,1) : 67 %
b1(50,40,4,2) : 62 %
b1(50,40,4,3) : 56 %

b1(50,40,5,1) : 72 %
b1(50,40,5,2) : 67 %
b1(50,40,5,3) : 62 %
b1(50,40,5,4) : 56 %

et aussi

b1(N,M,x+1,x) = (N-x)/(N+M-2x)
qui est une valeur particulière simple...

d'où le 56% qui revient ci-dessus
car c'est proche de N/(N+M) = 50/90
...
et on retrouve bien
b1(70,30,8,4) : 98 %
...


HB

[Torgue Philippe]

oups
Je crois qu'effectivement, j'ai inversé les n° en cours de route : Je
U1 : 70R 30N
U2 : 30R 70N
A : "j'ai 8R et 4N"
a1 = p(A si U1) et a2 = p( A si U2)
p(U1) = p p(U2) = 1 - p = q
p = q = 1/2
p(A inter U1) = p.a1
p(A inter U2) = q.a2
p(U1 si A) = p.a1/(p.a1 + q.a2)
avec p = q = 1/2
b1 = p(U1 si A) = 1/( 1 + a2/a1)
( et par symétrie, b2 = p(U2 si A) = 1/( 1 + a1/a2) ) ( mais b2 =
1 - b1 est plus simple ...)
Ensuite...
r = a2/a1 = [C(70,4).C(30,8)]/[C(70,8).C(30,4)]
en écrivant ça avec les factoriels
il reste
r = a2/a1 = 62! . 26! / ( 66! . 22!) = 115/5544
b1 = 1/( 1 + r) = 5544/5659
b2 = 115/5659
b1 vaut environ 98%
b2 vaut environ 2%
En notant N et M les effectifs (remplaçant 70 et 30 ) N > M et a et b
les nb de boules tirées (remplaçant 8 et 4)
on obtient
r(N,M,a,b) = [ (M-b)....(M-a+1) / [ (N-b)....(N-a+1) ]
et
b1(N,M,a,b) = 1/( 1 + r(N,M,a,b))
b2(N,M,a,b) = 1 - b1(N,M,a,b)
(On voit que si a=b alors b1 = b2 = 1/2 ...)
on peut avec un logiciel ad-hoc regarder qq valeurs ; (arrondies à la
louche)
b1(30,10,4,1) : 98 %
b1(30,10,4,2) : 93 %
b1(30,10,4,3) : 79 %
b1(50,40,2,1) : 56 %
b1(50,40,3,1) : 61 %
b1(50,40,3,2) : 56 %
b1(50,40,4,1) : 67 %
b1(50,40,4,2) : 62 %
b1(50,40,4,3) : 56 %
b1(50,40,5,1) : 72 %
b1(50,40,5,2) : 67 %
b1(50,40,5,3) : 62 %
b1(50,40,5,4) : 56 %
et aussi
b1(N,M,x+1,x) = (N-x)/(N+M-2x)
qui est une valeur particulière simple...
d'où le 56% qui revient ci-dessus
car c'est proche de N/(N+M) = 50/90
...
et on retrouve bien
b1(70,30,8,4) : 98 %
...
HB

Merci vivement !!!!

[Torgue Philippe]

oups
Je crois qu'effectivement, j'ai inversé les n° en cours de route : Je
U1 : 70R 30N
U2 : 30R 70N
A : "j'ai 8R et 4N"
a1 = p(A si U1) et a2 = p( A si U2)
p(U1) = p p(U2) = 1 - p = q
p = q = 1/2
p(A inter U1) = p.a1
p(A inter U2) = q.a2
p(U1 si A) = p.a1/(p.a1 + q.a2)
avec p = q = 1/2
b1 = p(U1 si A) = 1/( 1 + a2/a1)
( et par symétrie, b2 = p(U2 si A) = 1/( 1 + a1/a2) ) ( mais b2 =
1 - b1 est plus simple ...)
Ensuite...
r = a2/a1 = [C(70,4).C(30,8)]/[C(70,8).C(30,4)]
en écrivant ça avec les factoriels
il reste
r = a2/a1 = 62! . 26! / ( 66! . 22!) = 115/5544
b1 = 1/( 1 + r) = 5544/5659
b2 = 115/5659
b1 vaut environ 98%
b2 vaut environ 2%
En notant N et M les effectifs (remplaçant 70 et 30 ) N > M et a et b
les nb de boules tirées (remplaçant 8 et 4)
on obtient
r(N,M,a,b) = [ (M-b)....(M-a+1) / [ (N-b)....(N-a+1) ]
et
b1(N,M,a,b) = 1/( 1 + r(N,M,a,b))
b2(N,M,a,b) = 1 - b1(N,M,a,b)
(On voit que si a=b alors b1 = b2 = 1/2 ...)
on peut avec un logiciel ad-hoc regarder qq valeurs ; (arrondies à la
louche)
b1(30,10,4,1) : 98 %
b1(30,10,4,2) : 93 %
b1(30,10,4,3) : 79 %
b1(50,40,2,1) : 56 %
b1(50,40,3,1) : 61 %
b1(50,40,3,2) : 56 %
b1(50,40,4,1) : 67 %
b1(50,40,4,2) : 62 %
b1(50,40,4,3) : 56 %
b1(50,40,5,1) : 72 %
b1(50,40,5,2) : 67 %
b1(50,40,5,3) : 62 %
b1(50,40,5,4) : 56 %
et aussi
b1(N,M,x+1,x) = (N-x)/(N+M-2x)
qui est une valeur particulière simple...
d'où le 56% qui revient ci-dessus
car c'est proche de N/(N+M) = 50/90
...
et on retrouve bien
b1(70,30,8,4) : 98 %
...
HB

J'ai retrouvé l'article dont était issu ce problème,
en fait si l'on pose cette question en demandant une réponse
"au jugé", les personnes répondent dans une grande majorité
une probabilité pour b1 de 75%.
Le taux de 98% est bien plus fort.