Groupe "bizarre"

[Claude]

Bonjour


Est-ce que les mathématiciens ont donné un nom particulier aux groupes dont
tous les éléments sont leurs propres inverses ? ou c'est tellement stupide
comme groupe que ça ne vaut pas la peine de les étudier ?

D'avance merci de votre aide

[Mehdi Tibouchi]

Post by Claude
Est-ce que les mathématiciens ont donné un nom particulier aux groupes dont
tous les éléments sont leurs propres inverses ?

Un (Z/2Z)-espace vectoriel.

[Claude]

Post by Mehdi Tibouchi

Post by Claude
Est-ce que les mathématiciens ont donné un nom particulier aux groupes
dont tous les éléments sont leurs propres inverses ?

Un (Z/2Z)-espace vectoriel.

Merci !

[nicolas]

Post by Mehdi Tibouchi

Post by Claude
Est-ce que les mathématiciens ont donné un nom particulier aux groupes
dont tous les éléments sont leurs propres inverses ?

Un (Z/2Z)-espace vectoriel.

Un espace vectoriel n'est pas un groupe, c'est plutôt un groupe de la
forme (Z/2Z)^n, pour l'addition bien sûr.

n.

[Mehdi Tibouchi]

nicolas wrote in message

Post by nicolas
Un espace vectoriel n'est pas un groupe

Si.

Post by nicolas
c'est plutôt un groupe de la
forme (Z/2Z)^n, pour l'addition bien sûr.

Non, cela ne couvre que le cas fini.

[nicolas]

Post by Mehdi Tibouchi
nicolas wrote in message

Post by nicolas
Un espace vectoriel n'est pas un groupe

Si.

Il y a une opération de plus (externe de surcroît), ce n'est pas un
groupe tout nu.
Le groupe additif d'un module sur un anneau de caractéristique 2, ça te
va ?

Post by Mehdi Tibouchi

Post by nicolas
c'est plutôt un groupe de la
forme (Z/2Z)^n, pour l'addition bien sûr.

Non, cela ne couvre que le cas fini.

Exact.

n.

[Mehdi Tibouchi]

nicolas wrote in message

Post by nicolas
Il y a une opération de plus (externe de surcroît), ce n'est pas un
groupe tout nu.

Pour un espace vectoriel sur un corps arbitraire ça change quelque chose,
mais pas pour un espace vectoriel sur Z/2Z (ou sur Q, etc.). L'énoncé
précis est que le foncteur d'oubli vers les groupes abéliens est dans ce
cas pleinement fidèle, donc il est tout à fait légitime de voir un tel
espace vectoriel comme un groupe abélien à part entière.

Post by nicolas
Le groupe additif d'un module sur un anneau de caractéristique 2, ça te
va ?

C'est juste mais un peu compliqué.

[nicolas]

Post by Mehdi Tibouchi
Pour un espace vectoriel sur un corps arbitraire ça change quelque
chose, mais pas pour un espace vectoriel sur Z/2Z (ou sur Q, etc.).
L'énoncé précis est que le foncteur d'oubli vers les groupes abéliens
est dans ce cas pleinement fidèle, donc il est tout à fait légitime de
voir un tel espace vectoriel comme un groupe abélien à part entière.

Disons que je connais un peu les modules, pas les foncteurs. ;-)

n.

[Mehdi Tibouchi]

nicolas wrote in message

Post by nicolas
Disons que je connais un peu les modules, pas les foncteurs. ;-)

Dit autrement, les morphismes sont les mêmes (les applications linéaires
entre deux k-espaces vectoriels sont exactement les morphismes de groupes
lorsque k=Z/pZ ou Q).

[Mû]

Post by Mehdi Tibouchi

Post by Claude
Est-ce que les mathématiciens ont donné un nom particulier aux groupes dont
tous les éléments sont leurs propres inverses ?

Un (Z/2Z)-espace vectoriel.

Ca me rappelle un résultat amusant lu il y a quelques années sur un site
personnel d'agrégatif: un groupe qui n'a qu'un seul automorphisme a au
plus deux éléments... si on suppose l'axiome du choix. Je suis intéressé
par tout avis sur ce qui se passe si on ne le suppose plus. Je n'avais
rien réussi à trouver quand j'y avais réfléchi...

Pour info, la démonstration rapide:
l'idée est que le groupe est commutatif (car tout automorphisme
intérieur est l'identité), puis que tout élément est son propre inverse
(car comme il est commutatif, x -> -x est un automorphisme et est donc
l'identité). c'est donc un Z/2Z-espace vectoriel. S'il a plus de deux
éléments, on prend deux éléments distincts non nuls x et y, F un
supplémentaire de Vect(x,y) (axiome du choix) et le symétrie par rapport
à Vect(x) parallèlement à Vect(F union {y}) est un automorphisme qui
n'est pas l'identité.

[Mehdi Tibouchi]

Post by Mû
Ca me rappelle un résultat amusant lu il y a quelques années sur un site
personnel d'agrégatif: un groupe qui n'a qu'un seul automorphisme a au
plus deux éléments... si on suppose l'axiome du choix. Je suis intéressé
par tout avis sur ce qui se passe si on ne le suppose plus. Je n'avais
rien réussi à trouver quand j'y avais réfléchi...

Amusant en effet. Je ne sais pas non plus ce qui se passe sans AC. Il est
par exemple consistant avec ZF + la négation de AC qu'il existe un espace
vectoriel de dimension infinie sur Z/2Z dont tout sous-espace strict est
de dimension finie (ce qui empêche la démonstration de marcher), mais un
tel espace peut quand même avoir des automorphismes non triviaux.

[Mû]

Post by Mehdi Tibouchi
Amusant en effet. Je ne sais pas non plus ce qui se passe sans AC. Il est
par exemple consistant avec ZF + la négation de AC qu'il existe un espace
vectoriel de dimension infinie sur Z/2Z dont tout sous-espace strict est
de dimension finie (ce qui empêche la démonstration de marcher), mais un
tel espace peut quand même avoir des automorphismes non triviaux.

Amusant aussi, auriez-vous une référence?

[Ken Pledger]

Post by Claude
....
Est-ce que les mathématiciens ont donné un nom particulier aux groupes dont
tous les éléments sont leurs propres inverses?....

Je connais l'expression anglaise: "group of exponent 2".

Ken Pledger.

[Jim Heckman]

Le 11-Jan-2011, Ken Pledger <***@vuw.ac.nz>
a écrit dans l'article

Post by Ken Pledger

Post by Claude
....
Est-ce que les mathématiciens ont donné un nom particulier aux groupes dont
tous les éléments sont leurs propres inverses?....

Je connais l'expression anglaise: "group of exponent 2".

Aussi "elementary abelian 2-group".

[AP]

Post by Claude
Bonjour
Est-ce que les mathématiciens ont donné un nom particulier aux groupes dont
tous les éléments sont leurs propres inverses ? ou c'est tellement stupide
comme groupe que ça ne vaut pas la peine de les étudier ?

non, ce n'est pas stupide, puisque un exercice souvent posé est de
montrer q'un tel groupe est commutatif

et si on connaît le théorème "fondamental" sur les groupes finis
commutatifs
on voit tout de suite qu'il est isomorphe au groupe (+)
(Z/2Z)^k, pour un certain k
(on peut vérifier facilement qu'un tel groupe a la propriété requise :
pour tout g dans le groupe, g+g=0=(0,0,..,0)

en fait l'ordre du groupe est donc une puissance de 2

et donc, c'est un 2-groupe
(un p-groupe étant un groupe dont l'ordre est une puissance de p ,
avec p premier)

mais la réciproque est fausse le groupe Z/4Z est un 2-groupe mais
évidemment on n'a pas pour tout g dans ce groupe , g+g=0

Post by Claude
D'avance merci de votre aide