Deux droites parallèles à une même droite

[lionmarron]

Bonjour,

Dans un ouvrage intitulé "Mathématique" (E.J.L., 2007), il est écrit que
ceci est un théorème : Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième alors elles sont parallèles entre elles. Et si c'est un
théorème on pouvoir le démontrer.

Oui, mais comment ? Merci de vos commentaires...

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Post by lionmarron
Dans un ouvrage intitulé "Mathématique" (E.J.L., 2007), il est écrit que
ceci est un théorème : Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième alors elles sont parallèles entre elles. Et si c'est un
théorème on pouvoir le démontrer.
Oui, mais comment ? Merci de vos commentaires...

La question est intéressante et je vais tenter d'y répondre. Mais il
faudrait savoir ce que l'on prend pour axiomes de départ.

Par exemple, je sais répondre si l'on suppose admise la propriété
suivante : dans un triangle quel qu'il soit, la somme des angles
intérieurs vaut deux angles droits (180 degrés).

En effet, soient D_a et D_b deux droites perpendiculaires à une même
troisième D, et soient A et B les points d'intersection de D_a avec D
et de D_b avec D. Si D_a et D_b n'étaient pas parallèles, alors elles
se couperaient en un unique point C, et la somme des angles du triangle
ABC vaudrait plus que deux angles droits (puisque ce serait la somme
des deux angles droits en A et en B avec l'angle non nul en C).
Ceci contredit l'hypothèse selon laquelle un tel point C existe.

Cordialement,

[lionmarron]

Post by Olivier Miakinen
La question est intéressante et je vais tenter d'y répondre. Mais il
faudrait savoir ce que l'on prend pour axiomes de départ.
Par exemple, je sais répondre si l'on suppose admise la propriété
suivante : dans un triangle quel qu'il soit, la somme des angles
intérieurs vaut deux angles droits (180 degrés).
En effet, soient D_a et D_b deux droites perpendiculaires à une même
troisième D, et soient A et B les points d'intersection de D_a avec D
et de D_b avec D. Si D_a et D_b n'étaient pas parallèles, alors elles
se couperaient en un unique point C, et la somme des angles du triangle
ABC vaudrait plus que deux angles droits (puisque ce serait la somme
des deux angles droits en A et en B avec l'angle non nul en C).
Ceci contredit l'hypothèse selon laquelle un tel point C existe.

A mon avis c'est bien vu. Il ne reste que de démontrer que la somme des
angles intérieurs d'un triangle est constante, et on dirait que c'est
possible, bien que je n'ai pas trop envi d'en formuler la démonstration
(c'est le genre de chose qu'on peut remettre au lendemain).

[Ken Pledger]

.... Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième alors elles sont parallèles entre elles. Et si c'est un
théorème on pouvoir le démontrer.
Oui, mais comment ? ....

Euclide I.27 ou 28.

Ken Pledger.

[Arachide]

Post by lionmarron
Bonjour,
Dans un ouvrage intitulé "Mathématique" (E.J.L., 2007), il est écrit que
ceci est un théorème : Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième alors elles sont parallèles entre elles. Et si c'est un
théorème on pouvoir le démontrer.
Oui, mais comment ? Merci de vos commentaires...

Il me semble qu'on y va par l'absurde.
On suppose que les deux perpendiculaires ont un point commun.
Et on arrive au fait que par un point, il passe deux perpendiculaires à
une même droite... et là... catastrophe!

Guillaume.

[Samuel DEVULDER]

Post by lionmarron
Bonjour,
Dans un ouvrage intitulé "Mathématique" (E.J.L., 2007), il est écrit que
ceci est un théorème : Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième alors elles sont parallèles entre elles. Et si c'est un
théorème on pouvoir le démontrer.
Oui, mais comment ? Merci de vos commentaires...

Appelons A et B les points d'intersection de la droite perpendiculaire
avec les deux autres.

Si ces deux autres n'étaient pas parallèles, elle se couperaient en un
point. Nommons le C.

On a donc un triangle A, B, C. Regardons les angles au sommet.

Si les deux droites sont non confondues, l'angle (CA, CB) est non nul.
Par ailleurs du fait de l'orthognoalité, (AB, AC) = 1/4 de cercle et
similairement (BA, BC) = 1/4 cercle.

Sommons tous ces angles Somme = (AB, AC) + (BA, BC) + (CA, CB) =
angle-plat(1/2 cercle) + (CA, CB), donc Somme > angle-plat. Or c'est
faux, si on a un triangle la somme doit valoir un angle-plat.

Il s'ensuit que notre hypothèse (droite non parallèles) est fausse.

==> Deux droites non confondues perpendiculaires à une 3eme sont
parallèles entre elles.

CQFD.

[Achille Talon]

Post by Samuel DEVULDER

Post by lionmarron
Bonjour,
Dans un ouvrage intitulé "Mathématique" (E.J.L., 2007), il est écrit
que ceci est un théorème : Si deux droites sont perpendiculaires à une
même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Et si c'est un
théorème on pouvoir le démontrer.
Oui, mais comment ? Merci de vos commentaires...

Appelons A et B les points d'intersection de la droite perpendiculaire
avec les deux autres.
Si ces deux autres n'étaient pas parallèles, elle se couperaient en un
point. Nommons le C.
On a donc un triangle A, B, C. Regardons les angles au sommet.
Si les deux droites sont non confondues, l'angle (CA, CB) est non nul.
Par ailleurs du fait de l'orthognoalité, (AB, AC) = 1/4 de cercle et
similairement (BA, BC) = 1/4 cercle.
Sommons tous ces angles Somme = (AB, AC) + (BA, BC) + (CA, CB) =
angle-plat(1/2 cercle) + (CA, CB), donc Somme > angle-plat. Or c'est
faux, si on a un triangle la somme doit valoir un angle-plat.
Il s'ensuit que notre hypothèse (droite non parallèles) est fausse.
==> Deux droites non confondues perpendiculaires à une 3eme sont
parallèles entre elles.
CQFD.

Un argument de type symétrie me parait plus élégant:

D le symétrique de C par rapport à la droite. Les deux autres droites
passent donc toutes les deux par C et D. Donc elles ne sont qu'une.

[Samuel DEVULDER]

Attention à "l'emplacement" de ce théorème à l'intérieur de la géométrie
euclidienne. Il faut que pour valider cette démonstration, on ait déjà
démontré que la somme des angles intérieurs du triangle est deux droits.

Il n'était pas précisé sur quels autre théorèmes/axiome on pouvait
s'appuyer.

Une autre démonstration possible est d'utiliser l'axiome des droites
parallèle qui dit: <<Si une droite coupe deux autres droites en
déterminant deux angles internes dont la somme soit différente de deux
angles droits, alors les deux droites se coupent dans le demi-plan pour
lequel la somme est inférieure à deux angles droits>>.

La démonstration en utilisant cet axiome est équivalente à celle que
j'ai montré : on suppose les droites non //, elles se coupent en C, sur
le triangle considéré la somme des angles opposés à C est plus petit que
la somme de deux angle droits (axiome ci-dessus), or par définition,
cette somme est identique ce qu'ils sont par définition, à deux angle
droits, donc l'hypothèse est fausse: les droites sont parallèles. QED.

sam.

[robby]

Post by lionmarron
Dans un ouvrage intitulé "Mathématique" (E.J.L., 2007), il est écrit
que ceci est un théorème : Si deux droites sont perpendiculaires à une
même troisième alors elles sont parallèles entre elles

en 2D. ça va peut-etre de soi, mais je n'aime pas trop les hypotheses
clandestines qu'on trouve dans bien des énoncés que les eleves croient
ensuite universels.

Post by lionmarron
. Et si c'est un théorème on pouvoir le démontrer.
Oui, mais comment ? Merci de vos commentaires...

ya pas droit a l'algebre, j'imagine ? :-)