dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²) en -1

[Sam Sung Sam Soule]

Bonjour,

J'ai l'impression que ce groupe est entrain de mourir mais qui sait peut
être aurai je la chance d'être entendu par une âme qui passe par là.

Alors voilà j'ai du mal à comprendre la dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²)
en -1

D'après mon calcul de la limite de [f(-1+h)-f(-1)]/h en zéro je trouve
zéro, cette fonction serait donc bien dérivable en -1 avec une tangente
horizontale en -1.

D'ailleurs comme dérivée je trouve bien (sqrt(1-x²))/(x-1) qui vaut
effectivement zéro pour x=-1, sur le graphique je vois bien une tangente
horizontale en -1.

Là ou je me pose des questions c'est que je pensais toujours qu'une
racine ne pouvait pas se dériver là ou elle s'annule, dans le calcul de
la dérivée on voit bien qu'avant simplification la racine se retrouve au
dénominateur d’où mon doute sur la validité de mes résultats.

Quelqu'un peut il me confirmer ou m'infirmer l'exactitude de mes calculs
et apporter éventuellement un éclairage sur mon interrogation ?

Merci

[Mich29]

Post by Sam Sung Sam Soule
Bonjour,
J'ai l'impression que ce groupe est entrain de mourir mais qui sait peut
être aurai je la chance d'être entendu par une âme qui passe par là.
Alors voilà j'ai du mal à comprendre la dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²)
en -1
D'après mon calcul de la limite de [f(-1+h)-f(-1)]/h en zéro je trouve
zéro, cette fonction serait donc bien dérivable en -1 avec une tangente
horizontale en -1.
D'ailleurs comme dérivée je trouve bien (sqrt(1-x²))/(x-1) qui vaut
effectivement zéro pour x=-1, sur le graphique je vois bien une tangente
horizontale en -1.
Là ou je me pose des questions c'est que je pensais toujours qu'une
racine ne pouvait pas se dériver là ou elle s'annule, dans le calcul de
la dérivée on voit bien qu'avant simplification la racine se retrouve au
dénominateur d’où mon doute sur la validité de mes résultats.
Quelqu'un peut il me confirmer ou m'infirmer l'exactitude de mes calculs
et apporter éventuellement un éclairage sur mon interrogation ?
Merci

Bonjour elle est dérivable en faisant l'étude particulière en -1
mais la fonction n'est pas dérivable comme composée de fonctions puisque
sqrt(1 - x²) n'est pas dérivable en -1
Voilà

[Nicolas de la Ruelle]

Bonsoir. Ton résultat est bon (tangente horizontale y = 0 en x = -1).
La raison est que dans rac(1 - x²) le facteur qui risquait de poser
problème en -1 est rac(1 + x) = (1 + x)^(1/2).
Or il est remultiplié devant par (1 + x) , donc l'expression est de
type (1 + x)^(3/2) et la dérivée de x^(3/2) est (3/2)*x^(1/2) donc
d'exposant positif, ce qui fait qu'il ne passe pas au dénominateur, donc
rend l'ensemble calculable.

C'est dit à la barbare, mais c'est la raison.
Nico ..

Post by Mich29

Post by Sam Sung Sam Soule
Bonjour,
J'ai l'impression que ce groupe est entrain de mourir mais qui sait peut
être aurai je la chance d'être entendu par une âme qui passe par là.
Alors voilà j'ai du mal à comprendre la dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²)
en -1
D'après mon calcul de la limite de [f(-1+h)-f(-1)]/h en zéro je trouve
zéro, cette fonction serait donc bien dérivable en -1 avec une tangente
horizontale en -1.
D'ailleurs comme dérivée je trouve bien (sqrt(1-x²))/(x-1) qui vaut
effectivement zéro pour x=-1, sur le graphique je vois bien une tangente
horizontale en -1.
Là ou je me pose des questions c'est que je pensais toujours qu'une
racine ne pouvait pas se dériver là ou elle s'annule, dans le calcul de
la dérivée on voit bien qu'avant simplification la racine se retrouve au
dénominateur d’où mon doute sur la validité de mes résultats.
Quelqu'un peut il me confirmer ou m'infirmer l'exactitude de mes calculs
et apporter éventuellement un éclairage sur mon interrogation ?
Merci

Bonjour elle est dérivable en faisant l'étude particulière en -1
mais la fonction n'est pas dérivable comme composée de fonctions puisque
sqrt(1 - x²) n'est pas dérivable en -1
Voilà

[Mich29]

Bonsoir. Ton résultat est bon (tangente horizontale y = 0 en x = -1).
La raison est que dans rac(1 - x²) le facteur qui risquait de poser
problème en -1 est rac(1 + x) = (1 + x)^(1/2).
Or il est remultiplié devant par (1 + x) , donc l'expression est de type
(1 + x)^(3/2) et la dérivée de x^(3/2) est (3/2)*x^(1/2) donc d'exposant
positif, ce qui fait qu'il ne passe pas au dénominateur, donc rend
l'ensemble calculable.
C'est dit à la barbare, mais c'est la raison.
Nico ..

La fonction lue telle qu'elle est écrite n'est pas dérivable en - 1 avec
les règles usuelles.
Ceci est très clair, par contre en la modifiant on peut comprendre
pourquoi elle est quand même dérivable.
Par contre l'argument : elle est dérivable car quand je la dérive
(tiens, elle serait donc dérivable ??) j'obtiens un exposant positif
donc elle est dérivable est assez drôle...

[Sam Sung Sam Soule]

Post by Mich29

Bonsoir. Ton résultat est bon (tangente horizontale y = 0 en x = -1).
La raison est que dans rac(1 - x²) le facteur qui risquait de poser
problème en -1 est rac(1 + x) = (1 + x)^(1/2).
Or il est remultiplié devant par (1 + x) , donc l'expression est de type
(1 + x)^(3/2) et la dérivée de x^(3/2) est (3/2)*x^(1/2) donc d'exposant
positif, ce qui fait qu'il ne passe pas au dénominateur, donc rend
l'ensemble calculable.
C'est dit à la barbare, mais c'est la raison.
Nico ..

La fonction lue telle qu'elle est écrite n'est pas dérivable en - 1 avec
les règles usuelles.
Ceci est très clair, par contre en la modifiant on peut comprendre
pourquoi elle est quand même dérivable.
Par contre l'argument : elle est dérivable car quand je la dérive
(tiens, elle serait donc dérivable ??) j'obtiens un exposant positif
donc elle est dérivable est assez drôle...

Merci pour vos contributions.

En fait après avoir lu vos réponses et après réflexion je pense avoir
compris mon erreur: je raisonnais en me disant que l'inverse de zéro
n’existe pas et qu'en conséquence l'inverse de l'inverse de zéro ne
pouvait pas exister non plus, puisqu'on ne peut pas avoir l'inverse de
quelque chose qui n'existe pas. En fait si on raisonne en terme de
limite on peut effectivement obtenir l'inverse de l'inverse de zéro.

[Solo]

Post by Sam Sung Sam Soule
Bonjour,
J'ai l'impression que ce groupe est entrain de mourir mais qui sait peut
être aurai je la chance d'être entendu par une âme qui passe par là.
Alors voilà j'ai du mal à comprendre la dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²)
en -1
D'après mon calcul de la limite de [f(-1+h)-f(-1)]/h en zéro je trouve
zéro, cette fonction serait donc bien dérivable en -1 avec une tangente
horizontale en -1.
D'ailleurs comme dérivée je trouve bien (sqrt(1-x²))/(x-1) qui vaut
effectivement zéro pour x=-1, sur le graphique je vois bien une tangente
horizontale en -1.

Tu ne vois pas d'autre tangente horizontale sur ton graphique ?

[Sam Sung Sam Soule]

Post by Solo

Post by Sam Sung Sam Soule
Bonjour,
J'ai l'impression que ce groupe est entrain de mourir mais qui sait peut
être aurai je la chance d'être entendu par une âme qui passe par là.
Alors voilà j'ai du mal à comprendre la dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²)
en -1
D'après mon calcul de la limite de [f(-1+h)-f(-1)]/h en zéro je trouve
zéro, cette fonction serait donc bien dérivable en -1 avec une tangente
horizontale en -1.
D'ailleurs comme dérivée je trouve bien (sqrt(1-x²))/(x-1) qui vaut
effectivement zéro pour x=-1, sur le graphique je vois bien une tangente
horizontale en -1.

Tu ne vois pas d'autre tangente horizontale sur ton graphique ?

Si mais je ne vois pas le rapport avec la question.

[Solo]

Post by Sam Sung Sam Soule

Post by Solo

Post by Sam Sung Sam Soule
Bonjour,
J'ai l'impression que ce groupe est entrain de mourir mais qui sait peut
être aurai je la chance d'être entendu par une âme qui passe par là.
Alors voilà j'ai du mal à comprendre la dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²)
en -1
D'après mon calcul de la limite de [f(-1+h)-f(-1)]/h en zéro je trouve
zéro, cette fonction serait donc bien dérivable en -1 avec une tangente
horizontale en -1.
D'ailleurs comme dérivée je trouve bien (sqrt(1-x²))/(x-1) qui vaut
effectivement zéro pour x=-1, sur le graphique je vois bien une tangente
horizontale en -1.

Tu ne vois pas d'autre tangente horizontale sur ton graphique ?

Si mais je ne vois pas le rapport avec la question.

C'était juste pour montrer que la dérivée que tu as trouvée et qui ne
s'annule qu'en -1 comporte donc une erreur.

[Sam Sung Sam Soule]

Post by Sam Sung Sam Soule

Post by Solo

Post by Sam Sung Sam Soule
Bonjour,
J'ai l'impression que ce groupe est entrain de mourir mais qui sait peut
être aurai je la chance d'être entendu par une âme qui passe par là.
Alors voilà j'ai du mal à comprendre la dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²)
en -1
D'après mon calcul de la limite de [f(-1+h)-f(-1)]/h en zéro je trouve
zéro, cette fonction serait donc bien dérivable en -1 avec une tangente
horizontale en -1.
D'ailleurs comme dérivée je trouve bien (sqrt(1-x²))/(x-1) qui vaut
effectivement zéro pour x=-1, sur le graphique je vois bien une tangente
horizontale en -1.

Tu ne vois pas d'autre tangente horizontale sur ton graphique ?

Si mais je ne vois pas le rapport avec la question.

Ok en effet je m'en suis aperçu en voyant la dérivée d'"AJ"

[A.J.]

Post by Sam Sung Sam Soule
Bonjour,
J'ai l'impression que ce groupe est entrain de mourir mais qui sait peut
être aurai je la chance d'être entendu par une âme qui passe par là.
Alors voilà j'ai du mal à comprendre la dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²)
en -1
D'après mon calcul de la limite de [f(-1+h)-f(-1)]/h en zéro je trouve
zéro, cette fonction serait donc bien dérivable en -1 avec une tangente
horizontale en -1.
D'ailleurs comme dérivée je trouve bien (sqrt(1-x²))/(x-1) qui vaut
effectivement zéro pour x=-1, sur le graphique je vois bien une tangente
horizontale en -1.

La dérivée est :
(1 - x - 2.x^2)/sqrt(1 - x^2)
donc indéterminée pour x=-1 (égale à 0/0)

A.J

Post by Sam Sung Sam Soule
Là ou je me pose des questions c'est que je pensais toujours qu'une racine
ne pouvait pas se dériver là ou elle s'annule, dans le calcul de la
dérivée on voit bien qu'avant simplification la racine se retrouve au
dénominateur d’où mon doute sur la validité de mes résultats.
Quelqu'un peut il me confirmer ou m'infirmer l'exactitude de mes calculs
et apporter éventuellement un éclairage sur mon interrogation ?
Merci

[Nicolas de la Ruelle]

Post by A.J.

Post by Sam Sung Sam Soule
Bonjour,
J'ai l'impression que ce groupe est entrain de mourir mais qui sait peut
être aurai je la chance d'être entendu par une âme qui passe par là.
Alors voilà j'ai du mal à comprendre la dérivabilité de (x+1)sqrt(1-x²)
en -1
D'après mon calcul de la limite de [f(-1+h)-f(-1)]/h en zéro je trouve
zéro, cette fonction serait donc bien dérivable en -1 avec une tangente
horizontale en -1.
D'ailleurs comme dérivée je trouve bien (sqrt(1-x²))/(x-1) qui vaut
effectivement zéro pour x=-1, sur le graphique je vois bien une tangente
horizontale en -1.

(1 - x - 2.x^2)/sqrt(1 - x^2)
donc indéterminée pour x=-1 (égale à 0/0)
A.J

C'est bien pour cela qu'on procède par limite, soit par le taux de
variation et non par dérivée.
D'ailleurs graphiquement, faire par dérivée signifie que l'on visionne
une tangente en un point autre que -1 et que l'on rapproche le point de
tangence du point de la courbe d'abscisse x = -1, tandis que par le taux
de variation, on part d'un sécante issue de ce dernier point d'abscisse
-1 , et on fait se confondre le second point d'intersection avec la
courbe avec ce point.
Ce n'est pas du tout la même démarche, et en cas d'indétermination,
seule celle-ci est recevable (je suppose qu'on s'adresse à un niveau
terminale).
Nico ..

[Sam Sung Sam Soule]

Post by Nicolas de la Ruelle

Post by A.J.
(1 - x - 2.x^2)/sqrt(1 - x^2)
donc indéterminée pour x=-1 (égale à 0/0)
A.J

C'est bien pour cela qu'on procède par limite, soit par le taux de
variation et non par dérivée.
D'ailleurs graphiquement, faire par dérivée signifie que l'on visionne
une tangente en un point autre que -1 et que l'on rapproche le point de
tangence du point de la courbe d'abscisse x = -1, tandis que par le taux
de variation, on part d'un sécante issue de ce dernier point d'abscisse
-1 , et on fait se confondre le second point d'intersection avec la
courbe avec ce point.
Ce n'est pas du tout la même démarche, et en cas d'indétermination,
seule celle-ci est recevable (je suppose qu'on s'adresse à un niveau
terminale).
Nico ..

C'est effectivement pour un niveau terminale. Je viens enfin de
comprendre que c'est la limite du taux de variation qui donne le nombre
dérivé et que le calcul de la fonction dérivée ne permet pas
systématiquement de calculer ce nombre dérivé.

Je viens d’ailleurs aussi de me rendre compte qu'il y avait une erreur
dans ma dérivée ce qui n'arrange pas les choses.

Merci

[Lotre]

"Nicolas de la Ruelle"
(...)

Post by Nicolas de la Ruelle
C'est bien pour cela qu'on procède par limite, soit par le taux de
variation et non par dérivée.

La dérivée n'étant pas nécessairement continue,
il n'y a aucune raison de calculer avec la limite en -1 de F'
si F' n'est pas définie en -1
Comme à chaque fois qu'on tombe sur un cas particulier,
il faut revenir à la définition. (limite du taux)


Cependant, ici

F est définie sur [-1 ; 1 ]
et, sur cet ensemble, peut s'écrire

(x+1)^(3/2) * (1 - x)^(1/2)

F est donc dérivable sur [-1 ; 1 [ ...

En effet, parmi les résultats du cours de Term, devrait figurer :

si u est dérivable sur un intervalle I et si r est un réel supérieur
ou égal à 1 alors
G = u^r est dérivable sur I et vérifie G' = r. u'. u^(r-1)

HB