(a ^ a) ^ a = a ^ (a ^ a)

[lionmarron]

Avec a < b, l'équation :

a ^ b = b ^ a

est-elle vérifiée par une autre solution que a=2, b=4 ?


Question que je crois presque équivalente :

Avec a>1, l'équation :

(a ^ a) ^ a = a ^ (a ^ a)

est-elle vérifiée par une autre solution que a=2 ?

A vue de nez je suppose que non, mais je n'ai pas pu trouver de
démonstration, et c'est une question dont je ne suis pas capable
d'évaluer le niveau de difficulté.


Merci de toute réponse pas ésotérique (je crains le pire).

AH

[lionmarron]

Post by lionmarron
Merci de toute réponse pas ésotérique (je crains le pire).

Je voulais dire <pas trop> ésotérique.

[AP]

On Sun, 20 Mar 2011 12:12:16 -0700 (PDT), lionmarron

Post by lionmarron
a ^ b = b ^ a
est-elle vérifiée par une autre solution que a=2, b=4 ?

celle -ci a fait l'objet d'un pb bac il y a qq années

Post by lionmarron
(a ^ a) ^ a = a ^ (a ^ a)
est-elle vérifiée par une autre solution que a=2 ?
A vue de nez je suppose que non, mais je n'ai pas pu trouver de
démonstration, et c'est une question dont je ne suis pas capable
d'évaluer le niveau de difficulté.
Merci de toute réponse pas ésotérique (je crains le pire).
AH

[lionmarron]

Post by lionmarron
a ^ b = b ^ a
est-elle v rifi e par une autre solution que a=2, b=4 ?

celle -ci a fait l'objet d'un pb bac il y a qq ann es

J'ai peut-être bien fait de m'arrêter avant la seconde alors.

[Mû]

Post by lionmarron
a ^ b = b ^ a
est-elle vérifiée par une autre solution que a=2, b=4 ?

Avec 0<a<b, elle est équivalente à ln(a)/a=ln(b)/b et il suffit
d'étudier la fonction x->ln(x)/x.

[lionmarron]

Post by lionmarron
a ^ b = b ^ a
est-elle v rifi e par une autre solution que a=2, b=4 ?

Avec 0<a<b, elle est quivalente ln(a)/a=ln(b)/b et il suffit
d' tudier la fonction x - > ln(x) / x.

Je n'avais vraiment pas pensé à ça et je ne comprends pas trop les
détails, mais je me rends quand même compte que ça sens la bonne
solution.

Il faudra peut-être quand même que je trouve le temps d'étudier un
livre de première avant d'aller plus loin (j'ai le niveau seconde).

Merci de cette réponse quoiqu'il en soit.

AH

[a***@gmail.com]

C'est le printemps!

Une troisième solution!
a^(a^a) = (a^a)^a , a = -1

Remarque: on peut paramétrer l'équation
************
a^b = b^a , a=t^(t/(t-1)) , b = a=t^(1/(t-1))
pour t=2 , a=4 , b =2 ,

Avec des exposants pairs il y a une autre solution ,négative,
à l'équation a^2=2^a ; -0.766646958...
ou -2Lambertw(ln(2)/2)/ln(2)


Amicalement,
Alain

[lionmarron]

Post by a***@gmail.com
C'est le printemps!
Une troisième solution!
a^(a^a) = (a^a)^a   , a = -1

ha oui.

La suite je ne comprends pas, mais je ne vais peut-être pas insister
(mes yeux ne peuvent pas facilement fixer l'écran).

AH

[a***@gmail.com]

Post by a***@gmail.com
Une troisième solution!
a^(a^a) = (a^a)^a   , a = -1

AH

Bon,

Tu peux dans un premier temps vérifier
que ça marche.

Au fait qu'est-ce qui t'échappe?


A bientôt,
Alain

[lionmarron]

Post by a***@gmail.com
Bon,
Tu peux dans un premier temps vérifier
que ça marche.
Au fait qu'est-ce qui t'échappe?

Je voulais dire que je ne comprenais pas la suite du message, c'est-à-

Post by a***@gmail.com
Remarque: on peut paramétrer l'équation

Là je connais pas le sens de <paramétrer>

Post by a***@gmail.com
************
a^b = b^a , a = t ^ (t / (t-1)) , b = a = t ^ (1 / (t-1))
pour t=2 , a=4 , b =2 ,

Et là je vois toujours pas.

On peut donc avoir b = a = , etc. suivit de a=4, b=2 ??

Post by a***@gmail.com
Avec des exposants pairs il y a une autre solution ,négative,
à l'équation a^2=2^a ; -0.766646958...
ou -2Lambertw(ln(2)/2)/ln(2)

Cette fois je peux vérifier oui (enfin ma calculette le fait tout au
moins),

mais <Lambertw> j'avoue que je n'ai même pas cherché sur google...


A bientôt,
AH

[a***@gmail.com]

Bonsoir,

*Paramétrer a^b = b^a (1) ,
ou définir a=a(t) et b=b(t)
pour que l'équation soit vérifiée tout t<>1.
  a = t ^ (t / (t-1)) , b = t ^ (1 / (t-1)) , (2)
Tu peux montrer que (2) satisfait (1) .


**LambertW : la fonction tabulée qui répond à:
x*exp(x) = 2 , x = LambertW(2) ~0.8526055020
Exemple u^u = 3 ;ln(u)*u = ln(3) ...


Alain

[lionmarron]

 Bonsoir,
*Paramétrer  a^b = b^a   (1) ,
ou définir a=a(t) et b=b(t)
pour que l'équation soit vérifiée tout t<>1.
   a = t ^ (t / (t-1)) , b =  t ^ (1 / (t-1))  ,   (2)
Tu peux montrer que (2)  satisfait (1) .
x*exp(x) = 2  , x = LambertW(2) ~0.8526055020
Exemple  u^u = 3  ;ln(u)*u = ln(3) ...
Alain

Je crois que cette fois j'ai presque compris.

Enfin je vais quand même m'arrêter là au moins provisoirement, avec la
permission de mes docteurs...

Et merci bien sûr.

AH

[a***@gmail.com]

Chouette!

Regarde:

4 = 2*2 = 2^2
( 4)^2 = (2*2)^2 = (2^2)^2
4^2 = 2^(2*2)

4^2 = 2^4

Comme (1) si y = x*t = x^t (2)
alors x^y = y^x
car x^(xt) = (x^t)^x

De la relation (2) tu tires:
x = t^(1/(t-1)) ; y = t^(t/(t-1)) ,t<>1

Bonne journée,

Alain

[lionmarron]

Post by a***@gmail.com
Chouette!
      4   =    2*2   =  2^2
  ( 4)^2 = (2*2)^2 = (2^2)^2
     4^2     =    2^(2*2)
     4^2     =   2^4

Oui mais pour démontrer ce qui précède j'ai besoin d'une étape
intermédiaire de plus, et pour la faire il me faut une chose
supplémentaire : 2 + 2 = 2 * 2

Evidemment comme a * a = a ^ a implique peut-être a + a = a * a on
peut toujours dire que c'était sous-entendu, mais dans le cas
contraire je ne vois pas comment on passe de (2 * 2) ^ 2 à (2 ^ 2)
^ 2.

Professeur André

[a***@gmail.com]

Bon après-midi Prof ,

Tes remarques me suggèrent deux choses:

1- a^a = a*a , a>1
a^(a-2) = 1 ,a^0 = 1 correspond à a = 2
et donc a*a = a+a

2- J'en profitais (autre sujet) pour parler de paramétrisation;
4 = 2*2 =2^2 , tu généralises:
y = x*t = x^t (1)
Alors l'équation x^y=y^x est vérifiée:
car x^(xt) =(x^t)^x et de (1) tu tires:
x=t^(1/(t-1)) , y=t^(t/(t-1))

A plus,

Alain

[lionmarron]

Post by a***@gmail.com
Bon après-midi Prof ,

Merci.

Le professeur André précise qu'il utilise plusieurs symboles pour
indiquer l'implication :

?==> ( ou ==> ) : pour indiquer une implication dont on ne sait pas
si elle est réciproque (ou dont on ne se préoccupe pas de savoir si
elle est réciproque).

==>> : pour indiquer une implication dont on précise qu'elle n'est pas
réciproque.

Post by a***@gmail.com
1-      a^a = a*a  ,  a>1
    a^(a-2) = 1  ,a^0 = 1 correspond à  a = 2

La je vois pas trop le rapport avec la ligne suivante

Post by a***@gmail.com
 et donc a*a = a+a

Il me semble que la démo suivante serait plus lisible :

a ^ a = a * a

<==> a ^ a = a ^ 2

?==> a ^ a = 2 ^ 2

<==> a = 2

Bon c'est du niveau seconde, nous sommes d'accord.

Post by a***@gmail.com
2- J'en profitais (autre sujet) pour parler de paramétrisation;
      y = x * t = x ^ t     (1)
car   x ^ (xt) =(x^t) ^ x  

La je trouve ça bizarre. Il me semble que la démonstration marcherait
mieux dans l'autre sens.

Post by a***@gmail.com
x= t ^ ( 1 / (t-1))  ,  y= t ^ ( t / (t-1))

Cette fois je crois que j'ai peut-être manqué un épisode.

J'ai jamais étudié 1 / (n - 1) ni n / (n - 1) et je cerne pas
trop les fonctions correspondantes.


André

[a***@gmail.com]

Post by lionmarron

Post by a***@gmail.com
Bon après-midi Prof ,

Merci.
Le professeur André précise qu'il utilise plusieurs symboles pour
?==>  ( ou ==> ) : pour indiquer une implication dont on ne sait pas
si elle est réciproque  (ou dont on ne se préoccupe pas de savoir si
elle est réciproque).
==>> : pour indiquer une implication dont on précise qu'elle n'est pas
réciproque.

Post by a***@gmail.com
1-      a^a = a*a  ,  a>1
    a^(a-2) = 1  ,a^0 = 1 correspond à  a = 2

La je vois pas trop le rapport avec la ligne suivante

Post by a***@gmail.com
 et donc a*a = a+a

a ^ a = a * a
<==>  a ^ a = a ^ 2
?==>  a ^ a = 2 ^ 2
<==> a = 2
Bon c'est du niveau seconde, nous sommes d'accord.

Post by a***@gmail.com
2- J'en profitais (autre sujet) pour parler de paramétrisation;
      y = x * t = x ^ t     (1)
car   x ^ (xt) =(x^t) ^ x  

La je trouve ça bizarre. Il me semble que la démonstration marcherait
mieux dans l'autre sens.

Post by a***@gmail.com
x= t ^ ( 1 / (t-1))  ,  y= t ^ ( t / (t-1))

Cette fois je crois que j'ai peut-être manqué un épisode.
J'ai jamais étudié  1 / (n - 1)   ni   n / (n - 1)   et je cerne pas
trop les fonctions correspondantes.
André

Bonjour André,


Paramétrer signifie relier à une autre valeur :
Ex:cos(x) et sin(x) : cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)
sin(x) = 2t/(1+t^2)
calcule cos^2(x)+sin^2(x) en fonction de t

Même chose pour x^y=y^x ...

Alain