Une méthode pour les démonstrations ?

[Gnocchi]

Salut à tous,

Je suis étudiant en première année de DUT Informatique, et j'aurais
voulu savoir si vous aviez des conseils à me donner pour mener à bien
mes démonstrations. Je connais mon cours, je sais qu'il y a 3 manières
de prouver qu'un théorème est vrai ou non :

- par preuve directe : supposer que A est vraie et prouver par des
calculs, des axiomes, ... que B est vraie.
- par contraposée : supposer que B est fausse et prouver par des
calculs, des axiomes, ... que A est fausse.
- par l'absurde : supposer que A est vraie et que B est fausse et
arriver au moyen de calculs, de propriétés, d'axiomes, ... à un
résultat absurde (2 = -2 par exemple).

Seulement je n'arrive jamais à mener à bien mes démonstrations, je ne
sais même pas par où commencer ! Par exemple sur cet exercice,
quelqu'un pourrait m'indiquer la méthode, la marche à suivre svp ?

A = "x est un entier naturel" ; B="2x est un entier naturel pair"

1. Démontrer que A => B est un théorème.
(autres questions du même style...)


Merci d'avance :)

[Serganz]

Bonjour,

S’il suffisait de connaître les méthodes de démonstration pour savoir démontrer, les mathématiques n’auraient sans doute plus tellement d’intérêt pour ceux qui les étudient.

Post by Gnocchi
A = "x est un entier naturel" ; B="2x est un entier naturel pair"
1. Démontrer que A => B est un théorème.
(autres questions du même style...)

Une démonstration directe et très rapide me semble ici évidente à formuler.

En effet, soit x un entier naturel.
Alors 2x est un entier naturel, multiple de 2.
Par définition, 2x est donc bien un entier naturel pair.

[Lavau Gerard]

J'aurais
voulu savoir si vous aviez des conseils à me donner pour mener à bien
mes démonstrations. Je connais mon cours, je sais qu'il y a 3 manières
- par preuve directe : supposer que A est vraie et prouver par des
calculs, des axiomes, ... que B est vraie.
- par contraposée : supposer que B est fausse et prouver par des
calculs, des axiomes, ... que A est fausse.
- par l'absurde : supposer que A est vraie et que B est fausse et
arriver au moyen de calculs, de propriétés, d'axiomes, ... à un
résultat absurde.

Il n'y a pas vraiment de différence entre la contraposée et le
raisonnement par l'absurde, car après tout, dans la contraposée, si tu
prouves que B faux => A faux, tu obtiens une contradiction avec
l'hypothèse A vrai.

Cependant la méthode 1) ne consiste pas seulement à montrer A => C, C
=> D, D => E, etc... pour terminer par Z => B. La démarche peut se
faire aussi de la fin :
Montrer que B est impliqué par Z, que Z est impliqué par Y, etc...
jusqu'à remonter à A.

Elle peut donc aussi se faire par les deux bouts : on part de A et on
en déduit des propriétés jusqu'à ce qu'on bloque. On part de B et on
cherche des propriétés dont B se déduit, et avec un peu de chance, les
deux chemins se trouvent au milieu.
Il suffit souvent à un niveau élémentaire de modifier la proposition A
au moyen des définitions, de même pour B.

Exemple :
hypothèse A : x est entier
Qu'en déduire ? Bof, pas grand chose.

conclusion B : 2x est pair.
Transformer B par la définition : un nombre pair est un multiple de 2.
On demande donc de montrer qu'il existe un entier p tel que 2x = 2p.
Ah, ben oui, ça ne paraît pas bien dur de trouver p !!


Lavau Gérard