Géométrie 5e : points alignés ou pas

[Olivier Miakinen]

[diapublication avec fr.sci.maths, suivi vers
fr.education.entraide.maths seul]

Bonjour,

Je suis tombé sur un exercice intéressant dans le livre d'exercices
de mon fils qui est en 5e.

Voir la figure suivante :
<Loading Image...>.
Partant d'un carré ABCD, on a tracé un triangle équilatéral CDE (E à
l'intérieur du carré) et un triangle équilatéral BCF (F à l'extérieur
du carré).

Les points A, E et F semblent alignés, et la question est de savoir
s'ils le sont réellement.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Comme j'ai lu les conseils d'utilisation de ce groupe, je commence
par montrer que j'ai cherché...

En fait, on peut facilement prouver que les points sont alignés
en calculant d'une part la tangente de l'angle EAB (qui vaut
2 - racine(3)) et d'autre part celle de l'angle FAB (qui vaut
l'inverse de 2 + racine(3)).

Vu que (2 - racine(3)).(2 + racine(3)) vaut 1, les deux tangentes
sont égales, et donc les angles sont égaux.

Le problème, c'est que ma solution n'est pas à la portée des
élèves de 5e, et j'aimerais bien savoir quelle solution serait
à leur portée.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Histoire de trouver l'inspiration, j'ai rajouté quelques points
et droites ainsi qu'un cercle à la figure d'origine :
<Loading Image...>.

Je me rends bien compte qu'il suffit de remarquer que le
triangle rectangle AGF est semblable au triangle GFF' et
donc au triangle AEE', mais ça me semble encore un peu trop
compliqué pour des 5e. Je me trompe ?

Si vous avez une meilleure idée, je veux bien quelques
indications plutôt qu'une solution complète, du moins si
c'est possible.

[Rappel : j'ai mis le suivi vers feem seul]


Cordialement,

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvAN2SqOo_exo-2.png>.
Je me rends bien compte qu'il suffit de remarquer que le
triangle rectangle AGF est semblable au triangle GFF' et
donc au triangle AEE', mais ça me semble encore un peu trop
compliqué pour des 5e. Je me trompe ?

En outre, à bien y réfléchir, je crois que mon raisonnement
se mord la queue, et que s'il me semblait évident que les
triangles AGF et GFF' sont semblables c'est parce que je
tenais pour acquis que le point F était sur la droite GL,
ce qui n'est vrai que si le point E est sur la droite AF.
Bref, je n'ai rien prouvé du tout.

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen

Post by Olivier Miakinen
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvAN2SqOo_exo-2.png>.
Je me rends bien compte qu'il suffit de remarquer que le
triangle rectangle AGF est semblable au triangle GFF' et
donc au triangle AEE', mais ça me semble encore un peu trop
compliqué pour des 5e. Je me trompe ?

En outre, à bien y réfléchir, je crois que mon raisonnement
se mord la queue, et que s'il me semblait évident que les
triangles AGF et GFF' sont semblables c'est parce que je
tenais pour acquis que le point F était sur la droite GL,
ce qui n'est vrai que si le point E est sur la droite AF.
Bref, je n'ai rien prouvé du tout.

Parce que je l'ai trouvé juste avant de lire la réponse de
fsm, je vous livre quand même un moyen de retomber sur ses
pieds : le triangle AGF est rectangle en F du fait que le
point F est sur le cercle de diamètre AG (cercle de centre
B et de rayon BF). Mais encore une fois c'est une méthode
bien trop compliquée. Celle que m'a donnée fsm est tout
simplement parfaite, encore merci !

[f***@invalid.fr]

Post by Olivier Miakinen
Le problème, c'est que ma solution n'est pas à la portée des
élèves de 5e, et j'aimerais bien savoir quelle solution serait
à leur portée.

En 5e, on démontre cette propriété avec des considérations angulaires.

1) DEC est équilatéral donc EDC=60°. Comme l'angle ADC est droit, alors
par différence ADE=30°.
Le triangle ADE étant isocèle, DAE=DEA=(180-30)/2=75°

2) L'angle du triangle équilatéral DEC=60°

3) En suivant le même raisonnement qu'au 1), on établit que BCE=30°.
BCF étant équilatéral, BCF=60°
Par conséquent, ECF=BCE+BCF=90°
Le triangle ECF étant isocèle en C : CEF=CFE=(180-90)/2=45°

4) L'angle AEF=AED+DEC+CEF=75+60+45=180°
Cet angle étant plat, les points A, E et F sont alignés.

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvz6QT3zo_exo-1.png>
[...] Le triangle ADE étant isocèle [...]
[...] Le triangle ECF étant isocèle en C [...]

Bon sang mais c'est bien sûr ! Voilà ce que je n'avais pas vu.
Enfin, si pour ECF, j'avais bien vu que c'était un triangle
rectangle isocèle, mais il me manquait le fait que ADE est
tout simplement isocèle.

Post by Olivier Miakinen
[...]
4) L'angle AEF=AED+DEC+CEF=75+60+45=180°
Cet angle étant plat, les points A, E et F sont alignés.

C'est limpide. Merci beaucoup !

P.-S. : Du coup, je découvre que tan(15°) = 2 - racine(3). Ça
pourrait peut-être me servir une autre fois si j'arrive
à m'en souvenir. ;-)

Cordialement,

[Michel Talon]

Post by Olivier Miakinen
[diapublication avec fr.sci.maths, suivi vers
fr.education.entraide.maths seul]
Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice intéressant dans le livre d'exercices
de mon fils qui est en 5e.
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvz6QT3zo_exo-1.png>.
Partant d'un carré ABCD, on a tracé un triangle équilatéral CDE (E à
l'intérieur du carré) et un triangle équilatéral BCF (F à l'extérieur
du carré).
Les points A, E et F semblent alignés, et la question est de savoir
s'ils le sont réellement.

Je le crois. Supposons que E n'est pas aligné sur AF.
Dans le quadrangle AEFB la somme des angles vaut 360, d'où
angle(AEF)=60 + angle(EAD) + angle(EFC)
Dans ADCFE la somme des angles vaut 360 donc
angle(EAD) + angle(CFE) = 120
D'où angle(AEF) = 60 + 120 =180

[unknown]

Post by Olivier Miakinen
[diapublication avec fr.sci.maths, suivi vers
fr.education.entraide.maths seul]
Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice intéressant dans le livre d'exercices
de mon fils qui est en 5e.
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvz6QT3zo_exo-1.png>.

Hello

C'est un classique, il y a différentes méthodes pour le montrer:

- angles géométriques (4 ème)
- angles orientés de vecteurs (première)
- vecteurs colinéaires (première)
- géométrie analytique (points alignés ou vecteurs colinéaires) (première)

Et tant qu'on y est pourquoi pas:

- vecteurs avec des nombres complexes (terminale)
- trigonométrie dans un triangle rectangle (tangente) (troisième)

Martin

[f***@invalid.fr]

Post by unknown
- angles géométriques (4 ème)
- angles orientés de vecteurs (première)
- vecteurs colinéaires (première)
- géométrie analytique (points alignés ou vecteurs colinéaires) (première)
- vecteurs avec des nombres complexes (terminale)
- trigonométrie dans un triangle rectangle (tangente) (troisième)

Il y a aussi une démo utilisant les rotations qui est pas mal :

On appelle A' l'image de A dans la rotation R de centre C et d'angle pi/3.
Autrement dit, CAA' est équilatéral et donc A' est sur la médiatrice du
côté [AC].
Par ailleurs, ABC et ADC sont isocèles en B et D donc B et D
appartiennent aussi à la médiatrice de [AC].
Les points A', D et B sont donc alignés.

Comme R(A)=A', R(E)=D et R(F)=B, et que la rotation conserve les
alignements, A, E et F sont alignés.

[unknown]

Post by f***@invalid.fr
On appelle A' l'image de A dans la rotation R de centre C et d'angle pi/3.
Autrement dit, CAA' est équilatéral et donc A' est sur la médiatrice du
côté [AC].
Par ailleurs, ABC et ADC sont isocèles en B et D donc B et D
appartiennent aussi à la médiatrice de [AC].
Les points A', D et B sont donc alignés.
Comme R(A)=A', R(E)=D et R(F)=B, et que la rotation conserve les
alignements, A, E et F sont alignés.

Pas mal, ça rappelle de vagues souvenirs, les transformations ont
disparu du programme du lycée alors on a tendance à les oublier.

Sinon encore une autre solution qui a moins de classe, juste pour le fun
d'en rajouter: on peut montrer facilement que AE + EF = AF soit avec
Pythagore directement soit en géométrie analytique avec les normes de
vecteurs ou distances.

[Olivier Miakinen]

Ce message pourrait être inapproprié. Cliquez pour l'afficher.

[Jacques Mathon]

Post by Olivier Miakinen
[diapublication avec fr.sci.maths, suivi vers
fr.education.entraide.maths seul]
Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice intéressant dans le livre d'exercices
de mon fils qui est en 5e.
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvz6QT3zo_exo-1.png>.
Partant d'un carré ABCD, on a tracé un triangle équilatéral CDE (E à
l'intérieur du carré) et un triangle équilatéral BCF (F à l'extérieur
du carré).
Les points A, E et F semblent alignés, et la question est de savoir
s'ils le sont réellement.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Comme j'ai lu les conseils d'utilisation de ce groupe, je commence
par montrer que j'ai cherché...
En fait, on peut facilement prouver que les points sont alignés
en calculant d'une part la tangente de l'angle EAB (qui vaut
2 - racine(3)) et d'autre part celle de l'angle FAB (qui vaut
l'inverse de 2 + racine(3)).
Vu que (2 - racine(3)).(2 + racine(3)) vaut 1, les deux tangentes
sont égales, et donc les angles sont égaux.
Le problème, c'est que ma solution n'est pas à la portée des
élèves de 5e, et j'aimerais bien savoir quelle solution serait
à leur portée.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Histoire de trouver l'inspiration, j'ai rajouté quelques points
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvAN2SqOo_exo-2.png>.
Je me rends bien compte qu'il suffit de remarquer que le
triangle rectangle AGF est semblable au triangle GFF' et
donc au triangle AEE', mais ça me semble encore un peu trop
compliqué pour des 5e. Je me trompe ?
Si vous avez une meilleure idée, je veux bien quelques
indications plutôt qu'une solution complète, du moins si
c'est possible.

Raisonner sur la valeur des angles BAE et BAF est suffisant et à la
portée des élèves de cinquième (et même avant).

Cela dit, je trouve cet exercice extrêmement pertinent s'il parvient à
(nous) sensibiliser sur la différence entre abduction et déduction.
Autrement dit, (nous) convaincre de vérifier nos hypothèses en prenant
conscience qu'elles en sont.

Post by Olivier Miakinen
[Rappel : j'ai mis le suivi vers feem seul]

Amicalement

[briancon]

Post by Olivier Miakinen
[diapublication avec fr.sci.maths, suivi vers
fr.education.entraide.maths seul]
Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice intéressant dans le livre d'exercices
de mon fils qui est en 5e.
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvz6QT3zo_exo-1.png>.
Partant d'un carré ABCD, on a tracé un triangle équilatéral CDE (E à
l'intérieur du carré) et un triangle équilatéral BCF (F à l'extérieur
du carré).
Les points A, E et F semblent alignés, et la question est de savoir
s'ils le sont réellement.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Comme j'ai lu les conseils d'utilisation de ce groupe, je commence
par montrer que j'ai cherché...
En fait, on peut facilement prouver que les points sont alignés
en calculant d'une part la tangente de l'angle EAB (qui vaut
2 - racine(3)) et d'autre part celle de l'angle FAB (qui vaut
l'inverse de 2 + racine(3)).
Vu que (2 - racine(3)).(2 + racine(3)) vaut 1, les deux tangentes
sont égales, et donc les angles sont égaux.
Le problème, c'est que ma solution n'est pas à la portée des
élèves de 5e, et j'aimerais bien savoir quelle solution serait
à leur portée.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Histoire de trouver l'inspiration, j'ai rajouté quelques points
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvAN2SqOo_exo-2.png>.
Je me rends bien compte qu'il suffit de remarquer que le
triangle rectangle AGF est semblable au triangle GFF' et
donc au triangle AEE', mais ça me semble encore un peu trop
compliqué pour des 5e. Je me trompe ?
Si vous avez une meilleure idée, je veux bien quelques
indications plutôt qu'une solution complète, du moins si
c'est possible.
[Rappel : j'ai mis le suivi vers feem seul]
Cordialement,

[R-Dale]

Post by Olivier Miakinen
[diapublication avec fr.sci.maths, suivi vers
fr.education.entraide.maths seul]
Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice intéressant dans le livre d'exercices
de mon fils qui est en 5e.
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvz6QT3zo_exo-1.png>.
Partant d'un carré ABCD, on a tracé un triangle équilatéral CDE (E à
l'intérieur du carré) et un triangle équilatéral BCF (F à l'extérieur
du carré).
Les points A, E et F semblent alignés, et la question est de savoir
s'ils le sont réellement.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Comme j'ai lu les conseils d'utilisation de ce groupe, je commence
par montrer que j'ai cherché...
En fait, on peut facilement prouver que les points sont alignés
en calculant d'une part la tangente de l'angle EAB (qui vaut
2 - racine(3)) et d'autre part celle de l'angle FAB (qui vaut
l'inverse de 2 + racine(3)).
Vu que (2 - racine(3)).(2 + racine(3)) vaut 1, les deux tangentes
sont égales, et donc les angles sont égaux.
Le problème, c'est que ma solution n'est pas à la portée des
élèves de 5e, et j'aimerais bien savoir quelle solution serait
à leur portée.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Histoire de trouver l'inspiration, j'ai rajouté quelques points
<http://www.cjoint.com/doc/16_03/FCnvAN2SqOo_exo-2.png>.
Je me rends bien compte qu'il suffit de remarquer que le
triangle rectangle AGF est semblable au triangle GFF' et
donc au triangle AEE', mais ça me semble encore un peu trop
compliqué pour des 5e. Je me trompe ?
Si vous avez une meilleure idée, je veux bien quelques
indications plutôt qu'une solution complète, du moins si
c'est possible.
[Rappel : j'ai mis le suivi vers feem seul]
Cordialement,
--
Olivier Miakinen
« Au fond, diviser par zéro revient à unifier la Mécanique Quantique
et la Relativité Générale. » -- M.A. le 7/3/2016 dans fr.sci.maths

Bonjour
En 5ème on peut calculer des mesures d'angles en utilisant les propriérés
des triangles particuliers..
Dans cette figure il y a des triangles équilatéraux, des triangles isocèles
et des angles droits.
On peut calculer les mesures des angles AED, DEC, CEF.
On calcule la somme des trois et on peut conclure.

[Arachide]

Post by Olivier Miakinen
Le problème, c'est que ma solution n'est pas à la portée des
élèves de 5e, et j'aimerais bien savoir quelle solution serait
à leur portée.

Coucou!

On considère le triangle DEC équilatéral:
angle DEC = 60°

On considère le triangle ADE isocèle:
on prouve facilement que l'angle ADE = 30° et donc que AED=75°.

On considère le triangle CEF isocèle:
on prouve facilement que l'angle ECF = 30° + 60° = 90°
Donc... l'angle CEF = 45°

Au final, l'angle AEF = AED + DEC + CEF = 75 + 60 + 45 = 180°

Angle plat, donc points alignés.

Je suis allé un peu vite sur certains points, mais on n'utilise que la
propriété de la somme des angles d'un triangle et celle des angles des
triangles particuliers. C'est au programme de 5è.

Guillaume.