Minimum de ...

[ast]

bonjour

quel est le minimum de

x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 sur R²

merci

[Jules]

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bonjour
quel est le minimum de
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 sur R²
merci

-8 pour (x,y) = (sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2)).

Jules

[ast]

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bonjour
quel est le minimum de
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 sur R²
merci

-8 pour (x,y) = (sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2)).
Jules

Et quelle méthode avez vous utilisé pour arriver à ce résultat ?

[Jules]

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bonjour
quel est le minimum de
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 sur R²
merci

-8 pour (x,y) = (sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2)).
Jules

Et quelle méthode avez vous utilisé pour arriver à ce résultat ?

J'ai appliqué le cours...

En posant f(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2
on a p = df/dx = 4x^3 -4x +4y
et q = df/dy = 4y^3 +4x -4y
on ne peut avoir un extremum que si (p,q)=0 ce qui donne
(x,y) = (0,0) ou ((sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2))

Ensuite
r=d2f/dx2=12x^2-4
s=d2f/dxdy=4
t=d2f/dy2=12y^2-4
et s^2-rt=48(x^2+y2-3x^2y^2)

En ((sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2))
on a s^2-rt = -384<0 et r=20>0
ce qui donne un minimum relatif en chacun de ces points, ce minimum
valant -8.

Il ne reste plus qu'à prouver que c'est le minimum de f, c'est-à-dire
que f(x,y) + 8 >= 0 pour tout (x,y).

Jules

[ast]

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bonjour
quel est le minimum de
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 sur R²
merci

-8 pour (x,y) = (sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2)).
Jules

Et quelle méthode avez vous utilisé pour arriver à ce résultat ?

J'ai appliqué le cours...
En posant f(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2
on a p = df/dx = 4x^3 -4x +4y
et q = df/dy = 4y^3 +4x -4y
on ne peut avoir un extremum que si (p,q)=0 ce qui donne
(x,y) = (0,0) ou ((sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2))
Ensuite
r=d2f/dx2=12x^2-4
s=d2f/dxdy=4
t=d2f/dy2=12y^2-4
et s^2-rt=48(x^2+y2-3x^2y^2)
En ((sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2))
on a s^2-rt = -384<0 et r=20>0
ce qui donne un minimum relatif en chacun de ces points, ce minimum valant -8.
Il ne reste plus qu'à prouver que c'est le minimum de f, c'est-à-dire que f(x,y) + 8 >= 0 pour
tout (x,y).
Jules

Ok merci

Je suppose qu'on doit aussi pouvoir transformer l'expression
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 pour aboutir par exemple à (...)² - 8 avec
l'expression entre parenthèse qui s'annule de façon à conclure
sans avoir à passer par les dérivées.
C'est de ce coté que je cherchais sans résultat

[Jules]

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bonjour
quel est le minimum de
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 sur R²
merci

-8 pour (x,y) = (sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2)).
Jules

Et quelle méthode avez vous utilisé pour arriver à ce résultat ?

J'ai appliqué le cours...
En posant f(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2
on a p = df/dx = 4x^3 -4x +4y
et q = df/dy = 4y^3 +4x -4y
on ne peut avoir un extremum que si (p,q)=0 ce qui donne
(x,y) = (0,0) ou ((sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2))
Ensuite
r=d2f/dx2=12x^2-4
s=d2f/dxdy=4
t=d2f/dy2=12y^2-4
et s^2-rt=48(x^2+y2-3x^2y^2)
En ((sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2))
on a s^2-rt = -384<0 et r=20>0
ce qui donne un minimum relatif en chacun de ces points, ce minimum valant -8.
Il ne reste plus qu'à prouver que c'est le minimum de f, c'est-à-dire
que f(x,y) + 8 >= 0 pour tout (x,y).
Jules

Ok merci
Je suppose qu'on doit aussi pouvoir transformer l'expression
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 pour aboutir par exemple à (...)² - 8 avec
l'expression entre parenthèse qui s'annule de façon à conclure
sans avoir à passer par les dérivées.
C'est de ce coté que je cherchais sans résultat

f(x,y)+8 = (x^2-2)^2 + (y^2-2)^2 + 2(x+y)^2 >=0 pour tout (x,y).

Jules

[Olivier Miakinen]

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quel est le minimum de
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 sur R²

Il ne reste plus qu'à prouver que c'est le minimum de f, c'est-à-dire
que f(x,y) + 8 >= 0 pour tout (x,y).

Je suppose qu'on doit aussi pouvoir transformer l'expression
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 pour aboutir par exemple à (...)² - 8 avec
l'expression entre parenthèse qui s'annule de façon à conclure
sans avoir à passer par les dérivées.
C'est de ce coté que je cherchais sans résultat

f(x,y)+8 = (x^2-2)^2 + (y^2-2)^2 + 2(x+y)^2 >=0 pour tout (x,y).

Bien vu ! Mais c'est vrai que c'est plus facile à partir du moment où
on sait que le minimum est -8.

Comme la fonction est symétrique en x et y, il semble assez naturel de
répartir le +8 en +4 pour x^4 et +4 pour y^4 :

f(x,y)+8 = (x^4 + 4) + (y^4 + 4) - 2(x-y)^2

Ensuite, on peut penser à soustraire 4x^2 à (x^4 + 4) pour en faire
une identité remarquable qui peut s'annuler :

(x^4 - 4x^2 + 4) = (x^2 - 2)^2

Idem avec les y, et bien sûr on n'oublie pas de rajouter les 4x^2 et
4y^2 qu'on vient d'enlever :

f(x,y)+8 = (x^2 - 2)^2 + (y^2 - 2)^2 + 4x^2 + 4y^2 - 2(x-y)^2

La partie de droite peut s'écrire comme 2 fois (2x^2 + 2y^2 - (x-y)^2).
On développe cette expression, pour s'apercevoir qu'elle se refactorise
ensuite très bien :

2x^2 + 2y^2 - (x-y)^2
= 2x^2 + 2y^2 - x^2 + 2xy - y^2
= x^2 + 2xy + y^2
= (x+y)^2

D'où le résultat final :

f(x,y)+8 = (x^2 - 2)^2 + (y^2 - 2)^2 + 2(x-y)^2

Et voilà !

[ast]

Post by Olivier Miakinen

Post by Jules

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Post by Jules

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quel est le minimum de
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 sur R²

Il ne reste plus qu'à prouver que c'est le minimum de f, c'est-à-dire
que f(x,y) + 8 >= 0 pour tout (x,y).

Je suppose qu'on doit aussi pouvoir transformer l'expression
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 pour aboutir par exemple à (...)² - 8 avec
l'expression entre parenthèse qui s'annule de façon à conclure
sans avoir à passer par les dérivées.
C'est de ce coté que je cherchais sans résultat

f(x,y)+8 = (x^2-2)^2 + (y^2-2)^2 + 2(x+y)^2 >=0 pour tout (x,y).

Bien vu ! Mais c'est vrai que c'est plus facile à partir du moment où
on sait que le minimum est -8.
Comme la fonction est symétrique en x et y, il semble assez naturel de
f(x,y)+8 = (x^4 + 4) + (y^4 + 4) - 2(x-y)^2
Ensuite, on peut penser à soustraire 4x^2 à (x^4 + 4) pour en faire
(x^4 - 4x^2 + 4) = (x^2 - 2)^2
Idem avec les y, et bien sûr on n'oublie pas de rajouter les 4x^2 et
f(x,y)+8 = (x^2 - 2)^2 + (y^2 - 2)^2 + 4x^2 + 4y^2 - 2(x-y)^2
La partie de droite peut s'écrire comme 2 fois (2x^2 + 2y^2 - (x-y)^2).
On développe cette expression, pour s'apercevoir qu'elle se refactorise
2x^2 + 2y^2 - (x-y)^2
= 2x^2 + 2y^2 - x^2 + 2xy - y^2
= x^2 + 2xy + y^2
= (x+y)^2
f(x,y)+8 = (x^2 - 2)^2 + (y^2 - 2)^2 + 2(x-y)^2
Et voilà !

C'est ce que je cherchais.
Pas si simple que ça !

[Jules]

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Post by Olivier Miakinen
f(x,y)+8 = (x^2 - 2)^2 + (y^2 - 2)^2 + 2(x-y)^2
Et voilà !

C'est ce que je cherchais.
Pas si simple que ça !

C'est justement l'étude préalable qui permet d'arriver à ce résultat.
C'est bien plus simple lorsqu'on sait qu'il faut "positiver" f(x,y) + 8
et que l'expression à trouver doit s'annuler en (sqrt(2), -sqrt(2)) et
(-sqrt(2), sqrt(2)).

Jules

[Olivier Miakinen]

Post by Olivier Miakinen
[...]
f(x,y)+8 = (x^2 - 2)^2 + (y^2 - 2)^2 + 2(x-y)^2

Avec « x+y » au lieu de « x-y », bien sûr, comme l'avait écrit
Jules et comme il découlait logiquement de mes calculs.

f(x,y)+8 = (x^2 - 2)^2 + (y^2 - 2)^2 + 2(x+y)^2

[AP]

Post by Jules

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Post by Jules

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bonjour
quel est le minimum de
x^4 + y^4 - 2(x-y)^2 sur R²
merci

-8 pour (x,y) = (sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2)).
Jules

Et quelle méthode avez vous utilisé pour arriver à ce résultat ?

J'ai appliqué le cours...
En posant f(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2
on a p = df/dx = 4x^3 -4x +4y
et q = df/dy = 4y^3 +4x -4y
on ne peut avoir un extremum que si (p,q)=0 ce qui donne
(x,y) = (0,0) ou ((sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2))
Ensuite
r=d2f/dx2=12x^2-4
s=d2f/dxdy=4
t=d2f/dy2=12y^2-4
et s^2-rt=48(x^2+y2-3x^2y^2)
En ((sqrt(2), -sqrt(2)) ou (-sqrt(2),sqrt(2))
on a s^2-rt = -384<0 et r=20>0
ce qui donne un minimum relatif en chacun de ces points, ce minimum
valant -8.
Il ne reste plus qu'à prouver que c'est le minimum de f, c'est-à-dire
que f(x,y) + 8 >= 0 pour tout (x,y).
Jules

en fait dans ce cas il y a une ppté qui permet de conclure sans
chercher à transformer f+8 pour arriver à qq chose de >=0

en effet puisque la lim de f lorsque Max(|x|,|y|) tend vers +inf est
+inf on a le résultat suivant :
si les Mi sont les pts critiques cad sont les solutions du système
f'_x=f'_y=0
alors il ya minimum global en tout M_i tel que f(M_i)=Min des f(M_k)

et ici
Min[ f(0,0), f(sqrt(2), -sqrt(2)), f (-sqrt(2),sqrt(2)) ]=-8
d'ou mini global en (sqrt(2), -sqrt(2)) et (-sqrt(2),sqrt(2)) de
valeur -8