Problème de log : log2(x) = 1/2 + log4(4x + 15)

[lacide_manu]

Bonjour,

Jugeant utile de développer les mathématiques pour mon activité
professionnelle (comptabilité et informatique), je tente de résoudre les
problèmes tirés du livre "Notions élémentaires" de la commission romande
de Mathématiques (http://www.vsmp.ch/crm/ouvrages/).

Un problème me résiste (p. 118, 21. f)), et comme ça fait deux jours que
je n'avance pas, je vous le soumet :

log2(x) = 1/2 + log4(4x + 15)

la réponse est 4 + sqrt(46)

Je ne comprends pas comment y arriver. Il doit y avoir quelque chose de
fondamental qui m'échappe.

Une formule permettant d'atteindre ce résultat est : -x2 + 8x - 9/2

Mais ça ne m'aide guère.

Quel est le chemin pour résoudre ce problème ?

Merci d'avance.

lacide_manu

[Olivier Miakinen]

Bonjour,

Post by lacide_manu
Jugeant utile de développer les mathématiques pour mon activité
professionnelle (comptabilité et informatique), je tente de résoudre les
problèmes tirés du livre "Notions élémentaires" de la commission romande
de Mathématiques (http://www.vsmp.ch/crm/ouvrages/).
Un problème me résiste (p. 118, 21. f)), et comme ça fait deux jours que
log2(x) = 1/2 + log4(4x + 15)
la réponse est 4 + sqrt(46)

Ok.

Post by lacide_manu
Je ne comprends pas comment y arriver. Il doit y avoir quelque chose de
fondamental qui m'échappe.
Une formule permettant d'atteindre ce résultat est : -x2 + 8x - 9/2

Ce ne serait pas plutôt -x² + 8x + 30 = 0 ?

Post by lacide_manu
Mais ça ne m'aide guère.
Quel est le chemin pour résoudre ce problème ?

Voyons voir.

*) log2(x) = 1/2 + log4(4x + 15)

Puisque log2(x) = log(x)/log(2) et log4(x)=log(x)/log(4), on a :

*) log(x)/log(2) = 1/2 + log(4x+15)/log(4)

Mais log(4) = log(2²) = 2.log(2), donc :

*) log(x)/log(2) = 1/2 + log(4x+15)/(2.log(2))

Multiplions tout par 2.log(2) :

*) 2.log(x) = log(2) + log(4x+15)
*) log(x²) = log(2 * (4x+15))
*) log(x²) = log(8x+30)
*) x² = 8x + 30

Cette équation du second degré admet deux solutions qui sont
4 + sqrt(46) et 4 - sqrt(46). Seule la première est positive,
permettant d'écrire log2(x) et log4(4x+15).

[lacide_manu]

Post by Olivier Miakinen

Post by lacide_manu
Une formule permettant d'atteindre ce résultat est : -x2 + 8x - 9/2

Ce ne serait pas plutôt -x² + 8x + 30 = 0 ?

Même discriminant !

Post by Olivier Miakinen

Post by lacide_manu
Mais ça ne m'aide guère.
Quel est le chemin pour résoudre ce problème ?

Voyons voir.
*) log2(x) = 1/2 + log4(4x + 15)
*) log(x)/log(2) = 1/2 + log(4x+15)/log(4)
*) log(x)/log(2) = 1/2 + log(4x+15)/(2.log(2))
*) 2.log(x) = log(2) + log(4x+15)
*) log(x²) = log(2 * (4x+15))
*) log(x²) = log(8x+30)
*) x² = 8x + 30
Cette équation du second degré admet deux solutions qui sont
4 + sqrt(46) et 4 - sqrt(46). Seule la première est positive,
permettant d'écrire log2(x) et log4(4x+15).

Brillant ! Merci. Je vais devoir encore travailler...

lacide_manu