Post by unknownPost by TSalm2^x = n
Combien vaut x si on connait n ?
En France
En première ça se fait par tests successifs
Exemple 2^n=1024
En faisant des essais on fini par se rendre compte que 2^9=512 par
exemple et 2^10=1024 donc n=10
En terminale ça se résout avec la fonction ln (logarithme)
Bonjour,
Comme l'a souligné martin, la difficulté pour répondre à une telle
question tient deja au niveau de connaissances de l'interlocuteur !
(qui est ici inconnu)
Mais aussi à une imprécision flagrante dans l'énoncé :
"Résoudre" sans autre forme de précision, c'est résoudre dans
l'ensemble des nombres *réels* (voire des nombres complexes..) c'est à
dire chercher le nombre réel x tel que 2^x = n
Alors là il faudra déja que l'interlocuteur sache
- ce que sont les nombres réels
- que signifie 2^x quand x est un tel nombre, par exemple la
signification de 2^1.317589, voire pire 2^pi
Alors la résolution de 2^x = 307 donne
1) dans l'ensemble des nombres entiers
2^8 = 256, 2^9 = 512, 2^8 < 307 < 2^9
et les inégalités _strictes_ disent "pas de solution"
(par les logarithmes : log(307)/log(2) n'est pas un nombre entier)
Pour des exemples plus compliqués, par exemple 2^x = 536870912, on
opère par dichotomie :
2^2 = 4
2^4 = 16
2^8 = 256
2^16 = 256^2 = 65536
2^32 = 65536^2 = 4294967296
donc 16 < x < 32
2^24 = (2^16)*(2^8) = 65536*256 = 16777216
Donc 24 < x < 32
2^28 = (2^24)*(2^4) = 16777216*16 = 268435456
Donc 28 < x < 32
2^30 = (2^28)*(2^2) = 268435456*4 = 1073741824
Donc 28 < x < 30
2^29 = (2^28)*2 = 268435456*2 = 536870912
et donc x = 29
Cette méthode est un peu plus rapide que le calcul successif de toutes
les puissances de 2, quoique...
2) dans l'ensemble des nombres réels
2^8 < 307 < 2^9 donne 8 < x < 9
Pour aller plus loin dans la précision il faut savoir calculer
2^(8.5) etc, ce qui n'est pas une simple affaire et se fait en
pratique ... par les logarithmes !
Donc tant qu'à faire :
x = log(307)/log(2) = 2.4871... / 0.30103... ~= 8.262
on peut utiliser ici n'importe quelle base pour les logarithmes
La base 10 (logarithme décimaux), ou les logarithmes "naturels"
à base e, voire la base ... 2 :
x = log_2(n) !!!
De toute façon l'utilisation des logarithmes est ici un simple jeu
d'écriture, parce que si on ne sait pas calculer la valeur numérique
de ces logarithmes, on n'est pas plus avancé !
Et comme ils se calculent par approximations (par exemple avec des
formules dérivées de ln(1+u) = u - u^2/2 + u^3/3 - u^4/4 + ... )
On peut aussi ne pas se poser toutes ces questions existentielles et
taper sur les touches x^y, log (ou ln) de sa calculette...
Cordialement.
--
Philippe C., mail : chephip, with domain free.fr