Irritantes paraboles

[lacide_manu]

Bonjour,

Je suis bloqué depuis quelques jours sur deux problèmes relatifs aux
paraboles alors que jusqu'ici tout se passait bien.

Voici les deux récalcitrantes :

"Pour quelles valeurs de m les graphes des fonctions f(x) = -x^2 + m et
g(x) = x^2 + mx + 2 sont-ils tangents ?"

"Solution : m = -4 (1 +- sqrt(2))"

"Pour quelle(s) valeur(s) de a l'équation x^2 + ax + 3 = x a-t-elle
exactement une solution ?"

"Solution : a1 et a2 = 1 +- sqrt(12)"

Vous l'aurez compris, c'est le cheminement jusqu'à la solution qui me
pose problème.

Merci d'avance.

[Serganz]

"Pour quelle(s) valeur(s) de a l'équation x^2 + ax + 3 = x a-t-elle exactement une solution ?"

Voir cela comme une équation polynomiale de second degré.
À quelle condition une telle équation n’a-t-elle qu’une solution réelle ?

Serganz.

[lacide_manu]

Post by Serganz

Post by lacide_manu
"Pour quelle(s) valeur(s) de a l'équation x^2 + ax + 3 = x a-t-elle
exactement une solution ?"

Voir cela comme une équation polynomiale de second degré.

Merci d'avoir pris la peine de répondre.

Je ne suis pas un cancre qui cherche à faire faire ses devoirs par
d'autres. Je suis un adulte qui se passionne tardivement pour les
mathématiques, qui a pris la peine d'apprendre la théorie, mais qui dans
ce cas a de la peine à l'appliquer.

Post by Serganz
À quelle condition une telle équation n’a-t-elle qu’une solution réelle ?
Serganz.

Lorsque le discriminant est égal à zéro.

Meilleures salutations.

[Serganz]

Post by lacide_manu
Lorsque le discriminant est égal à zéro.

Voyez-vous alors comment poursuivre le raisonnement ?

[lacide_manu]

Post by Serganz

Post by lacide_manu
Lorsque le discriminant est égal à zéro.

Voyez-vous alors comment poursuivre le raisonnement ?

Je continuerais donc ainsi :

x² + ax + 3 = x
x² + ax - x + 3 = 0
x² + x(a - 1) + 3 = 0

On cherche un discriminant égal à zéro, soit b² - 4ac :
(a - 1)² - 12 = 0
a² - 2a + 1 - 12 = 0
a² - 2a - 11 = 0

D'où :

2 +- sqrt(4 + 44)/2
1 +- 2 sqrt (3)

Et voilà que je m'aperçois que j'avais simplifié la solution qui était :
1 +- sqrt (12)

J'ai honte. Merci pour l'aide.

Par contre, j'ai retenté de calculer l'autre problème, mais toujours
sans succès.

[Serganz]

Et voilà que je m'aperçois que j'avais simplifié la solution qui était : 1 +- sqrt (12)

En fait on peut tomber sur ça plus facilement de la manière suivante :
(a - 1)² - 12 = 0
(a-1)^2=12
donc a-1=+-sqrt(12)

Par contre, j'ai retenté de calculer l'autre problème, mais toujours sans succès.

Comment la propriété « les deux courbes sont tangentes » pourrait-elle se traduire ?
L’idée est d’obtenir une propriété « calculatoire » (analytique) plutôt que géométrique.

Serganz.

[lacide_manu]

Post by Serganz

Post by lacide_manu

Post by lacide_manu
Par contre, j'ai retenté de calculer l'autre problème, mais toujours

sans succès.

Comment la propriété « les deux courbes sont tangentes » pourrait-elle se traduire ?
L’idée est d’obtenir une propriété « calculatoire » (analytique) plutôt
que géométrique.
Serganz.

Nous avions donc :

f(x) = -x² + m et g(x) = x² + mx + 2

J'avais pensé à :

-x² + m = x² + mx + 2

mais ça m'a mené à tout sauf à la réponse.

[Nicolas de la Ruelle]

Post by lacide_manu

Post by Serganz

Post by lacide_manu

Post by lacide_manu
Par contre, j'ai retenté de calculer l'autre problème, mais toujours

sans succès.

Comment la propriété « les deux courbes sont tangentes » pourrait-elle se traduire ?
L’idée est d’obtenir une propriété « calculatoire » (analytique) plutôt
que géométrique.
Serganz.

f(x) = -x² + m et g(x) = x² + mx + 2
-x² + m = x² + mx + 2
mais ça m'a mené à tout sauf à la réponse.

Deux courbes sécantes (2 abscisses d'intersection x1 et x2) deviennent
tangentes quand les deux intersections se rapprochent jusqu'à se
confondre, donc 2 intersections confondues x1 = x2, à ne pas confondre
avec une sécante ordinaire, 1 intersection locale x1.

Donc, ramener les deux équations égalisées en une seule, paramétrée par
m , puis imposer DELTA = 0 , d'où les valeurs de m cherchées.
Nico

---
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[Serganz]

Post by Nicolas de la Ruelle
ramener les deux équations égalisées en une seule

Ceci n’est pas très clair (ça n’a mathématiquement pas de sens).

Mais oui, il faut bien partir de l’équation :
-x² + m = x² + mx + 2

Et imposer qu’elle n’ait qu’une solution (double), comme dans le cas du problème précédent.

Il y a aussi une autre manière de voir si l’on connaît la notion de dérivée.

Serganz.

[lacide_manu]

Post by Serganz

Post by Nicolas de la Ruelle
ramener les deux équations égalisées en une seule

Ceci n’est pas très clair (ça n’a mathématiquement pas de sens).
-x² + m = x² + mx + 2
Et imposer qu’elle n’ait qu’une solution (double), comme dans le cas du
problème précédent.

Bon, merci pour l'aide, voilà où j'en suis de mes élucubrations :

-x² + m = x² + mx + 2
2x² + mx - m + 2 = 0

Là j'ai une hésitation concernant mx - m, je l'ai traité de différentes
manières sans succès, pour l'heure je ferais simplement :

2x² + mx + (- m + 2) = 0

Nous cherchons un discriminant supérieur à zéro :

m² + 8m - 16

Avec comme solution :

-8 +- sqrt (128) / 2
-4 +- 2 sqrt (8)

Mais ça n'est pas la solution voulue (-4 (1 +- sqrt(2)), et j'ai
l'impression de m'embrouiller un peu.

Post by Serganz
Il y a aussi une autre manière de voir si l’on connaît la notion de dérivée.
Serganz.

Ca sera pour plus tard et d'autres réjouissances.

[Serganz]

Post by lacide_manu
-4 +- 2 sqrt (8)

Ne peut-on pas réécrire cette valeur, en particulier sqrt(8) ?

En tout cas le déterminant doit être nul, et pas supérieur à zéro.

Serganz.

[lacide_manu]

Post by Serganz

Post by lacide_manu
-4 +- 2 sqrt (8)

Ne peut-on pas réécrire cette valeur, en particulier sqrt(8) ?
En tout cas le déterminant doit être nul, et pas supérieur à zéro.
Serganz.

Mais oui bien sûr ! Une fois de plus, je suis confus.

-4 +- 2 sqrt (8) = -4 (1 +- sqrt(2))

Et c'est bien la solution recherchée.

Je m'aperçois que ça n'étais pas si compliqué que cela en fin de compte,
je n'étais pas loin du compte. Et qu'un peu plus de concentration et de
confiance en moi, m'auraient permis de résoudre ces problèmes.

Merci encore une fois, Serganz.