Espérance mathématique

[lionmarron]

A la page 156 de Premier pas en statistique (éd. Springer), je trouve :

Dans le cas où E(X) = infini, on dit que l'espérance mathématique
n'existe pas.

Toutefois selon ce que j'ai compris E(X) est l'espérance mathématique et
sa valeur devrait être comprise entre 0 et 1. Je ne sais pas s'il y a
une contradiction quelque part mais j'ai du mal à voir comment E(X)
peut-être infini.

Donc le cas échéant s'il y a un problème dans ce qui précède, ou même
s'il n'y en a pas, merci de me le signaler.

***

Jusqu'à la page 156 j'avais pu suivre, mais j'ai un autre problème dès
la page 157. Je lis :

-soient a et b deux constantes et X une variable aléatoire :

Var(aX + b) = a^2 . Var(X).

En effet :

Var(aX + b) = E(aX + b - E(aX + b))^2.

Or, d'après [... lire : E(aX + b) = a . E(X) + b ] et après simplification :

Var(aX + b) = E[a^2(X - E(X))^2] = a^2E(X - E(X))^2

= a^2 . Var(X)

Fin de citation.

J'ai essayé de développer mais y a rien à faire, je vois pas comment
aboutir à ça. Donc si quelqu'un a une piste merci.

--
lionmarron

[Serganz]

Post by lionmarron
Toutefois selon ce que j'ai compris E(X) est l'espérance mathématique
et sa valeur devrait être comprise entre 0 et 1.

Non, une espérance n’est pas une probabilité.
C’est la valeur que la variable aléatoire peut « espérer » valoir en moyenne sur un très grand nombre d’expériences.

Par exemple, considérons l’expérience qui consister à lancer une pièce équilibrée.
Si on tombe sur face, on gagne 2 euros, si on tombe sur pile, on gagne aussi 2 euros (il est super ce jeu).
La probabilité d’avoir pile (mais également face) est 1/2.
L'espérance du gain est 2*1/2+2*1/2=1+1=2.
On peut espérer gagner 2 euros en jouant ce jeu (sans blague !).

Si on gagne 2 euros sur pile et si on perd 3 euros sur face, l'espérance est 2*1/2+(-3)*1/2=-1/2 : on perd en moyenne 50 cents par partie.

Post by lionmarron
Var(aX + b) = a^2 . Var(X).
Var(aX + b) = E(aX + b - E(aX + b))^2.

Attention, cette formule est mal écrite (le carré doit être à l’intérieur de l’espérance).
Plus simplement (a=1 et b=0) : Var(X)=E((X-E(X))^2)

Par suite (en utilisant E(aX + b) = a . E(X) + b) :
Var(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2-2XE(X)+E(X)^2)=E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2=E(X^2)-E(X)^2.

Ensuite, en remplaçant X par aX+b (qui est une autre variable aléatoire) :

Var(aX+b)=E((aX+b)^2)-E(aX+b)^2
=E(a^2X^2+2abX+b^2)-(aE(X)+b)^2
=a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2-(a^2E(X)^2+2abE(X)+b^2)
=a^2E(X^2)-a^2E(X)^2
=a^2(E(X^2)-E(X)^2)
=a^2V(X)

Serganz

[lionmarron]

Post by Serganz

Post by lionmarron
Toutefois selon ce que j'ai compris E(X) est l'espérance mathématique
et sa valeur devrait être comprise entre 0 et 1.

Non, une espérance n’est pas une probabilité.
C’est la valeur que la variable aléatoire peut « espérer » valoir en
moyenne sur un très grand nombre d’expériences.

Effectivement, en lisant bien le livre cela correspond mieux à ce qu'il dit.

Malgré tout je continue à ne pas bien voir comment E(X) peut-être
infini. Si l'espérance est positive, ce sera normalement le cas quand on
considère un nombre d'essais infini, mais alors ce serait également le
cas dans l'exemple suivant.

Post by Serganz
Par exemple, considérons l’expérience qui consister à lancer une pièce équilibrée.
Si on tombe sur face, on gagne 2 euros, si on tombe sur pile, on gagne
aussi 2 euros (il est super ce jeu).
La probabilité d’avoir pile (mais également face) est 1/2.
L'espérance du gain est 2*1/2+2*1/2=1+1=2.
On peut espérer gagner 2 euros en jouant ce jeu (sans blague !).
[...]

Post by lionmarron
Var(aX + b) = a^2 . Var(X).
Var(aX + b) = E(aX + b - E(aX + b))^2.

Attention, cette formule est mal écrite (le carré doit être à
l’intérieur de l’espérance).

Là aussi j'ai du mal à suivre. Page 156 je peux lire :

sigma^2 = Var(X) = [...] = E(X - mu)^2.

Fin de citation.

Formule où mu semble désigner la moyenne. Si c'est le cas cela ne me
semble pas correspondre à la formule précédente avant correction (celle
indiquée par le livre), mais pas non plus à la formule après correction.

Post by Serganz
Plus simplement (a=1 et b=0) : Var(X)=E((X-E(X))^2)

La suite est on ne peut plus claire en revanche (enfin pour moi, pas
tout à fait jusqu'à la fin).

Post by Serganz
Var(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2-2XE(X)+E(X)^2)=E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2=E(X^2)-E(X)^2.
Var(aX+b)=E((aX+b)^2)-E(aX+b)^2
=E(a^2X^2+2abX+b^2)-(aE(X)+b)^2
=a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2-(a^2E(X)^2+2abE(X)+b^2)
=a^2E(X^2)-a^2E(X)^2
=a^2(E(X^2)-E(X)^2)
=a^2V(X)

La dernière transformation correspond bien à ce qui est dans le livre
mais je crois qu'elle est trop rapide pour moi. Enfin de mon point de
vue, ce n'est pas le problème pour l'instant.

--
lionmarron

[AP]

Post by lionmarron

Post by lionmarron
Toutefois selon ce que j'ai compris E(X) est l'espérance mathématique
et sa valeur devrait être comprise entre 0 et 1.

Non, une espérance n’est pas une probabilité.
C’est la valeur que la variable aléatoire peut « espérer » valoir en
moyenne sur un très grand nombre d’expériences.

Effectivement, en lisant bien le livre cela correspond mieux à ce qu'il dit.
Malgré tout je continue à ne pas bien voir comment E(X) peut-être
infini. Si l'espérance est positive, ce sera normalement le cas quand on
considère un nombre d'essais infini, mais alors ce serait également le
cas dans l'exemple suivant.

en discret la va doit prendre une infinité de valeurs

X prend les valeurs i avec les probabilités p_i
pour i=1,2,3, 4....................
la somme des p_i doit faire 1 :
prenons p_i=6/(i*pi)^2

la somme des pi fait bien 1
cf 1+1/4+1/9+1/16+...=pi^2/6

et E(X) n'existe pas (ca tend vers + infini) : c'est la somme d'une
série divergente (en 1/i)

[Serganz]

Malgré tout je continue à ne pas bien voir comment E(X) peut-être infini.
Si l'espérance est positive, ce sera normalement le cas quand on considère
un nombre d'essais infini, mais alors ce serait également le cas dans l'exemple suivant.

Il ne faut pas confondre le nombre d'expériences que l'on peut faire avec l'espérance.
L'espérance est la valeur moyenne pour UNE SEULE expérience.

Une espérance infini correspond donc à une variable aléatoire qui peut prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut en une seule expérience.
Je n'ai pas d'exemple en tête, cependant.
Mais ça signifie que la variable aléatoire ne prend pas qu'un nombre fini de valeurs.

sigma^2 = Var(X) = [...] = E(X - mu)^2.

Je pense que le livre écrit mal (puisque cela prête à confusion) ; il faut comprendre : espérance de (X-mu)^2.
Moi j'écris cela E((X-mu)^2)

Formule où mu semble désigner la moyenne.

Oui, autrement dit espérance pour une variable aléatoire.

Post by Serganz
Var(aX+b)=E((aX+b)^2)-E(aX+b)^2
=E(a^2X^2+2abX+b^2)-(aE(X)+b)^2
=a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2-(a^2E(X)^2+2abE(X)+b^2)
=a^2E(X^2)-a^2E(X)^2
=a^2(E(X^2)-E(X)^2)
=a^2V(X)

La dernière transformation correspond bien à ce qui est dans le livre
mais je crois qu'elle est trop rapide pour moi.
Enfin de mon point de vue, ce n'est pas le problème pour l'instant.

Je suis allé un peu vite, mais je n'ai fait que développer des carrés et utilisé la formule de linéarité de l'espérance (E(aX+b)=aE(x)+b).

Serganz

[lionmarron]

Post by Serganz
Une espérance infini correspond donc à une variable aléatoire qui peut
prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut en une seule expérience.
Je n'ai pas d'exemple en tête, cependant.
Mais ça signifie que la variable aléatoire ne prend pas qu'un nombre fini de valeurs.

Merci. Cette explication est parfaitement claire.

Post by Serganz

Post by lionmarron
sigma^2 = Var(X) = [...] = E(X - mu)^2.

Je pense que le livre écrit mal (puisque cela prête à confusion) ; il
faut comprendre : espérance de (X-mu)^2.
Moi j'écris cela E((X-mu)^2)

Post by lionmarron
Formule où mu semble désigner la moyenne.

Oui, autrement dit espérance pour une variable aléatoire.

Cette fois je crois que je commence à comprendre.

Post by Serganz

Post by lionmarron

Post by Serganz
Var(aX+b)=E((aX+b)^2)-E(aX+b)^2
=E(a^2X^2+2abX+b^2)-(aE(X)+b)^2
=a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2-(a^2E(X)^2+2abE(X)+b^2)
=a^2E(X^2)-a^2E(X)^2
=a^2(E(X^2)-E(X)^2)
=a^2V(X)

La dernière transformation correspond bien à ce qui est dans le livre
mais je crois qu'elle est trop rapide pour moi.
Enfin de mon point de vue, ce n'est pas le problème pour l'instant.

Je suis allé un peu vite, mais je n'ai fait que développer des carrés et
utilisé la formule de linéarité de l'espérance (E(aX+b)=aE(x)+b).

J'ai toujours l'impression de ne pas comprendre. J'ai cherché quelque
chose comme:

= a^2(E(X^2) - E(X)^2)
= a^2(E(X^2 - E(X)^2))
= a^2(E(X^2 - 2E(X)^2 + E(X)^2)
= a^2(E(X^2 - 2XE(X) + E(X)^2)
= a^2(E((X - E(X))^2))
= a^2Var(X)

Mais là dedans il y a: 2E(X)^2 = 2XE(X), ce qui est visiblement faux.
Donc je vois pas.

[Serganz]

Post by Serganz
Var(aX+b)=E((aX+b)^2)-E(aX+b)^2
=E(a^2X^2+2abX+b^2)-(aE(X)+b)^2
=a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2-(a^2E(X)^2+2abE(X)+b^2)
=a^2E(X^2)-a^2E(X)^2
=a^2(E(X^2)-E(X)^2)
=a^2V(X)
Mais là dedans il y a: 2E(X)^2 = 2XE(X), ce qui est visiblement faux.

En effet cela est faux.
En fait il faut conserver l'espérance, mais utiliser la définition du carré : 2E(X)^2=2E(X)E(X).
Vous repérerez cela plus bas.

Les bonnes égalités sont les suivantes, comme je l'ai déjà écrit dans ma première réponse (mieux vaut partir dans l'autre sens, c'est beaucoup plus simple ; ce qui n'empêche pas de le lire à l'envers) :

Var(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2-2XE(X)+E(X)^2)=E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X)^2=E(X^2)-2E(X)^2+E(X)^2=E(X^2)-E(X)^2.

Mais cela ne prouve pas la formule Var(aX+b)=a^2V(X) (dont la preuve est copiée à nouveau en tête de ce message).
Cela prouve l'égalité E((X-E(X))^2)=E(X^2)-E(X)^2, qui donne deux définitions acceptables pour la variance.

Il faut bien comprendre que E(XE(X))=E(X)E(X) car E(X) est une constante (tout comme E(aX)=aE(X)).

Serganz

[lionmarron]

Rien à dire.

Et merci pour cette leçon qui rentabilise mon abonnement Internet.