désolé, j'ai commis une erreur dans mon énoncé... chiffres différents de "5" !! :-(

[Robert Johnson]

Bonsoir,

Auriez-vous une solution à la petite énigme suivante :

Soit 3 chiffres différents x, y et z et différents du chiffre "5" (on a pas
droit à ce chiffre... :-( ).
Trouver 2 nombres composés uniquement de ces trois chiffres, et dont la
somme fait 1000 :

ex : XYZ + YXZ = 1000 ou XYZ + ZXY = 1000 etc...

c'est bête mais je n'y arrive pas... :-) est-ce possible ?

Auriez vous l'amabilité d'éclairer ma lanterne S.V.P. ?

Merci,

R. Johnson.

[Olivier Miakinen]

Post by Robert Johnson
Soit 3 chiffres différents x, y et z et différents du chiffre "5" (on a pas
droit à ce chiffre... :-( ).

D'accord, c'est le 5 qui est interdit et pas le 0.

Post by Robert Johnson
Trouver 2 nombres composés uniquement de ces trois chiffres, et dont la
ex : XYZ + YXZ = 1000 ou XYZ + ZXY = 1000 etc...
c'est bête mais je n'y arrive pas... :-) est-ce possible ?

Avec les trois chiffres différents dans chacun des deux nombres, non, ça
ne me semble pas possible. Vérifions.

Tout d'abord, je suppose que le chiffre des unités est le même pour les
deux nombres (soit XYZ+XYZ, soit XYZ+YXZ). Dans le premier cas, on a
évidemment XYZ=500, qui ne convient pas (il y seulement deux chiffres
différents, et en plus il y a un 5). Dans le second cas, puisque Z
est différent de 5 on doit avoir Z=0, donc XY+YZ=100, c'est-à-dire
11(X+Y)=100. Comme 100 n'est pas divisible par 11, ça ne marche pas.

Donc les deux chiffres des unités sont différents, mettons X et Y, et
leur somme vaut 10. On a déjà vu dans mon premier article que X+Y+Z
est congru à 5 modulo 9, donc Z est congru à 4 modulo 9 (5-1), et
forcément Z vaut 4. Pour pouvoir obtenir un chiffre 0 dans le résultat
en ajoutant Z à un autre chiffre avec une retenue de 1, il faudrait que
cet autre chiffre soit égal à 5, ce qui est interdit par l'énoncé.

C'est donc impossible. En revanche, revenant sur notre conpréhension
initiale de l'énoncé, si on suppose que les trois chiffres peuvent se
répartir comme on veut entre les deux nombres, il y a des solutions.

Par exemple :
111 + 889 = 1000
222 + 778 = 1000
333 + 667 = 1000
666 + 334 = 1000
777 + 223 = 1000
888 + 112 = 1000

Et bien sûr :
119 + 881 = 1000
181 + 819 = 1000
189 + 811 = 1000
etc.

[Olivier Miakinen]

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Post by Robert Johnson
Soit 3 chiffres différents x, y et z et différents du chiffre "5" (on a pas
droit à ce chiffre... :-( ).

D'accord, c'est le 5 qui est interdit et pas le 0.

Post by Robert Johnson
Trouver 2 nombres composés uniquement de ces trois chiffres, et dont la
ex : XYZ + YXZ = 1000 ou XYZ + ZXY = 1000 etc...
c'est bête mais je n'y arrive pas... :-) est-ce possible ?

Avec les trois chiffres différents dans chacun des deux nombres, non, ça
ne me semble pas possible. Vérifions.

Tout d'abord, je suppose que le chiffre des unités est le même pour les
deux nombres (soit XYZ+XYZ, soit XYZ+YXZ). Dans le premier cas, on a
évidemment XYZ=500, qui ne convient pas (il y seulement deux chiffres
différents, et en plus il y a un 5). Dans le second cas, puisque Z
est différent de 5 on doit avoir Z=0, donc XY+YX=100, c'est-à-dire
11(X+Y)=100. Comme 100 n'est pas divisible par 11, ça ne marche pas.

Donc les deux chiffres des unités sont différents, mettons X et Y, et
leur somme vaut 10. On a déjà vu dans mon premier article que X+Y+Z
est congru à 5 modulo 9, donc Z est congru à 4 modulo 9 (5-1), et
forcément Z vaut 4. Pour pouvoir obtenir un chiffre 0 dans le résultat
en ajoutant Z à un autre chiffre avec une retenue de 1, il faudrait que
cet autre chiffre soit égal à 5, ce qui est interdit par l'énoncé.

C'est donc impossible. En revanche, revenant sur notre conpréhension
initiale de l'énoncé, si on suppose que les trois chiffres peuvent se
répartir comme on veut entre les deux nombres, il y a des solutions.

Par exemple :
111 + 889 = 1000
222 + 778 = 1000
333 + 667 = 1000
666 + 334 = 1000
777 + 223 = 1000
888 + 112 = 1000

Et bien sûr :
119 + 881 = 1000
181 + 819 = 1000
189 + 811 = 1000
etc.

[Robert Johnson]

Post by Olivier Miakinen
C'est donc impossible. En revanche, revenant sur notre conpréhension
initiale de l'énoncé, si on suppose que les trois chiffres peuvent se
répartir comme on veut entre les deux nombres, il y a des solutions.

C'est bien ce que je pensais, ce n'est donc pas possible.
Je vous remercie encore d'y avoir consacré du temps.
Cordialement,
R.J.